Méthodes : Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens, matrices orthogonales
Pour démontrer qu'une application $\langle \cdot,\cdot\rangle:E\times E\to\mathbb R$ est un produit scalaire, on vérifie la définition d'un produit scalaire. En général, la symétrie et la bilinéarité sont faciles à prouver. Le point clé est de vérifier que le produit scalaire est défini positif, c'est-à-dire que $\langle x,x\rangle>\geq 0$ avec égalité si et seulement $x=0.$ Pour cela, on peut utiliser les arguments suivants :
- si l'application fait intervenir des intégrales de fonctions continues, on utilise souvent le théorème suivant :
Si $h:[a,b]\to\mathbb R$ est continue et positive, alors $$\int_a^b h(t)dt=0\iff h=0.$$(voir cet exercice)
- si l'application est définie sur un espace ds polynômes, on peut utiliser qu'un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines, ou que la somme des multiplicités de ses racines est inférieure ou égale à $n$ (voir cet exercice).
- si l'application est définie sur $\mathbb R^n$ on peut essayer de l'écrire comme somme de carrés (voir cet exercice).
Bien sûr, si on souhaite prouver qu'une application n'est pas un produit scalaire, il suffit de produire un contre-exemple (voir cet exercice).
Pour démontrer une inégalité en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il faut impérativement faire apparaître un produit scalaire, c'est-à-dire le plus souvent une somme de produits de deux nombres, ou l'intégrale du produit de deux fonctions. Cela peut être direct (voir cet exercice) ou plus ou moins caché (voir cet exercice). Parfois, il est nécessaire d'écrire $x_k=x_k\times 1$ (voir cet exercice) ou d'utiliser d'autres astuces de ce type.
On commence par chercher une base de cet espace, puis on l'orthonormalise par le procédé de Schmidt (voir cet exercice).
Pour déterminer une base de $F^\perp$, où $F$ est un sous-espace de l'espace euclidien $E,$ on peut :
- si $F$ est donné par un système d'équations, il est facile de décrire $F$ sous la forme $F=(\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p))^\perp.$ On peut alors conclure en utilisant que dans un espace euclidien, on a $(G^\perp)^{\perp}=G$ pour tout sous-espace (voir cet exercice).
- si $F$ est donné par un sytème générateur, $F=\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p),$ on décrit $F^\perp$ comme l'ensemble des vecteurs $v$ tels que $v\perp u_i$ pour tout $i=1,\dots,p$. En général, ceci permet de décrire $F^\perp$ par un système de $p$ équations. Si on veut déterminer une base de $F$, on applique les méthodes vues dans le cours d'algèbre linéaire (voir cet exercice).
- si $F$ est donné par un système d'équations et qu'on souhaite également un système d'équations pour $G,$ on peut commencer par déterminer une base $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$ puis décrire $F^\perp$ comme l'ensemble des vecteurs $v$ tels que $v\perp u_i$ pour tout $i=1,\dots,p$ (voir cet exercice).
Pour calculer le projeté orthogonal de $u$ sur un sous-espace $F$ de dimension finie, il y a deux méthodes principales :
- on détermine une base orthonormale $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$ puis on calcule le projeté orthogonal $p_F(u)$ de $u$ sur $F$ par la formule $$p_F(u)=\sum_{i=1}^p \langle u,e_i\rangle e_i.$$
- si on connait une base $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$, plutôt que de l'orthonormaliser, on peut écrire que $p_F(u)=\lambda_1 u_1+\cdots+\lambda_p u_p,$ puis que pour chaque $i=1,\dots,p,$ $u-p_F(u)\perp u_i.$ Ceci amène à un système de $p$ équations qui permet de calculer les $\lambda_i.$
Il y a des cas où chacune des deux méthodes est plus commode; cependant, c'est souvent la seconde qui amène à des calculs plus simples car elle fait intervenir moins de racines carrées (voir cet exercice pour comparer les méthodes)
Pour calculer la distance $d(x,F)$ de $x$ à un sous-espace $F$ de dimension finie, on peut
- déterminer la projection orthogonale $p_F(x)$ de $x$ sur $F$ puis utiliser la formule $$d^2(x,F)=\|x-p_F(x)\|^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2$$ (voir cet exercice).
- calculer le projeté orthogonal $p_{F^\perp}(x)$ de $x$ sur $F^\perp$ puis utiliser la formule $$d^2(x,F)=\|p_{F^\perp}(x)\|^2$$ (voir cet exercice).
- si $F$ est un hyperplan, on cherche un vecteur normal $\mathbb n$ à l'hyperplan, et on sait que $$d(x,F)=\frac{|\langle x,\mathbb n\rangle|}{\|\mathbb n\|}$$ (voir cet exercice).
Pour calculer des produits scalaires et des normes, on peut
- utiliser la formule définissant le produit scalaire et la norme
- utiliser les coefficients des vecteurs dans une base orthonormée.