Méthodes : Matrices et applications linéaires
Pour écrire la matrice de $u\in \mathcal L(E,F)$ dans les bases $\mathcal B$ de $E$ et $\mathcal C$ de $F$, on peut :
- écrire en colonne les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal B$ par $u$ dans la base $\mathcal C$ (voir cet exercice ou cet exercice);
- si on connait la matrice de $u$ dans d'autres bases, appliquer la formule du changement de base (voir cet exercice).
Pour calculer le rang d'une matrice $A$, on applique souvent la méthode du pivot de Gauss. En utilisant des opérateurs élémentaires sur les lignes et les colonnes (permuter deux lignes, ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne, multiplier une ligne par un scalaire non nul, et de même sur les colonnes), qui ne changent pas le rang, on prouve que $$\textrm{rg}(A)=\textrm{rg}\begin{pmatrix} d_1&*&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ 0&d_2&*&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\ddots&\cdots&\vdots\\ 0&0&0&d_r&*&\dots&*\\ 0&0&\dots&\dots&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&0 \end{pmatrix}$$ où les coefficients $d_1,\dots,d_r$ sont non nuls. Alors $\textrm{rg}(A)=r$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Pour les exercices théoriques liés au rang, on peut souvent utiliser le fait qu'une matrice de rang $r$ est équivalente à la matrice $J_r$ (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une matrice est inversible, on peut l'interpréter comme la matrice d'un endomorphisme dans une bonne base, et démontrer que cet endomorphisme est injectif (voir cet exercice).
Pour déterminer la matrice d'une projection $p\in\mathcal L(E)$ dans une certaine base $\mathcal B$, on peut commencer par chercher sa matrice dans une base adaptée à la décomposition $E=\ker(p)\oplus \textrm{Im}(p)$, puis utiliser la formule de changement de base pour déterminer sa matrice dans $\mathcal B$ (voir cet exercice).