Méthodes : calcul matriciel
Calculer la puissance d'une matrice
Pour calculer une puissance d'une matrice $A$, on peut :
- calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence (voir cet exercice);
- écrire $A$ sous la forme $A=N+M$, où $N$ et $M$ sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme (voir cet exercice);
- trouver un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, puis effectuer la division euclidienne de $X^n$ par $P$ : si $X^n=P(X)Q(X)+R(X)$, alors $A^n=R(A)$ (voir cet exercice);
Inverser une matrice
Pour prouver qu'une matrice $A$ est inversible et éventuellement déterminer son inverse, on peut :
- utiliser la méthode du pivot de Gauss : une suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme $A$ en $I_n$ transforme $I_n$ en $A^{-1}$
(voir cet exercice);
- trouver un polynôme $P$ avec un terme constant non nul tel que $P(A)=0$. On peut alors écrire $$a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_1A=I_n\iff A(a_nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n)=I_n$$ qui donne immédiatement l'inverse (voir cet exercice);