Méthodes : Fonctions usuelles
Pour déterminer le nombre de solutions d'une équation $f(x)=\ell$ où $f$ est une fonction continue, on étudie la fonction $f$ de sorte de partager $\mathbb R$ en intervalles où la fonction est strictement monotone, et on résout l'équation sur chaque intervalle. Sur chaque intervalle $I=[a,b]$ où $f$ est strictement monotone, l'équation peut avoir au plus une solution. Elle a exactement une solution si $\ell \in [f(a),f(b)]$ (voir cet exercice).
Pour démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$, on pose $h(x)=f(x)-g(x)$ et on étudie la fonction $h$ (variations, étude aux bornes, etc…) dans le but de prouver que l'on a toujours $h(x)\leq 0$ (voir cet exercice).
Pour démontrer une inégalité du type $f(x,y)\leq g(x,y)$, qui fait intervenir deux variables $x$ et $y$, une possibilité est de fixer une des deux variables, disons $y$, puis, cette valeur étant fixée, d'introduire les fonctions $f_1(x)=f(x,y)$ et $g_1(x)=g(x,y)$ qui ne dépendent plus que d'une seule variable. On peut alors procéder comme dans le point précédent (voir cet exercice).
Pour résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir des sommes de logarithmes, on commence par déterminer l'ensemble des réels pour lesquels cette (in)équation a un sens. On utilise ensuite les propriétés algébriques du logarithme pour ramener l'(in)équation à une forme où n'apparaît plus qu'un logarithme. On utilise ensuite l'injectivité du logarithme ou sa croissance pour le faire disparaître (voir cet exercice ou celui-là.)
- déterminer le domaine de définition;
- étudier la parité, la périodicité et les symétries éventuelles de la courbe pour limiter le domaine d'étude;
- étudier les variations (par exemple, mais pas toujours, en calculant la dérivée et en étudiant son signe);
- déterminer les limites aux bornes du tableau de variations afin de trouver les asymptotes horizontales et verticales;
- tracer la courbe représentative.
Pour calculer $\arcsin(\textrm{machin})$, il faut essayer d'écrire $\textrm{machin}$ sous la forme $\sin(\textrm{truc})$ avec $\textrm{truc}\in[0,\pi]$. Attention! On n'a pas en général $\arcsin(\sin(x))=x$ : ceci n'est vrai que si $x\in [-\pi/2,\pi/2]$. Eventuellement, on se ramène à cet intervalle par les propriétés de la fonction sinus (périodicité, etc...) (voir cet exercice).
Pour résoudre une inéquation du type $\arcsin(x)=y$, on utilise l'équivalence $$\left\{ \begin{array}{c} y=\arcsin x\\ x\in[-1,1] \end{array}\right.\iff \left\{ \begin{array}{c} \sin y=x\\ y\in[-\pi/2,\pi/2] \end{array}\right. .$$ Il faut donc vérifier que $y$ est dans le bon intervalle, puis calculer son sinus (voir cet exercice).
Pour démontrer une relation sur les fonctions trigonométriques réciproques faisant intervenir une ou plusieurs variables, on introduit souvent une fonction dépendant de cette variable, on la dérive et on montre que la fonction est constante en prouvant que la dérivée est nulle (voir cet exercice ou celui-là).