Méthodes : familles sommables
Démontrer qu'une famille est sommable
Pour démontrer qu'une famille $(a_i)_{i\in I}$ est sommable, on peut
- si $\phi$ est une bijection de $\mathbb N$ sur $I$, on peut démontrer que la série $\sum_n a_{\phi(n)}$ est absolument convergente (voir cet exercice);
- si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$, et si on sait facilement calculer ou majorer $\sum_{i\in I_n}|a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou qui $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb N$), il suffit de prouver la convergence de $\sum_n \sum_{i\in I_n} |a_i|$ (voir cet exercice);
- si $I=\mathbb N^2$, il suffit de démontrer que pour tout $m\geq 1$, la série $\sum_{n}|a_{(m,n)}|$ est convergente, et que la série $\sum_m\left(\sum_{n\geq 1}|a_{(m,n)}|\right)$ est aussi convergente (voir cet exercice).
Démontrer qu'une famille n'est pas sommable
Pour démontrer qu'une famille $(a_i)_{i\in I}$ n'est pas sommable, on peut
- démontrer qu'il existe une infinité de termes dans la famille $(a_i)_{i\in I}$ qui sont supérieurs à une constante (cette méthode est analogue à celle qui consiste à prouver qu'une série n'est pas convergente cas son terme général ne tend pas vers 0) (voir cet exercice);
- démontrer qu'il existe une application injective $\phi:\mathbb N\to I$ telle que la série $\sum_n a_{\phi(n)}$ n'est pas absolument convergente (voir cet exercice);
- si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$, et si on sait facilement calculer ou majorer $\sum_{i\in I_n}|a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou qui $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb N$), il suffit de prouver la divergence de $\sum_n \sum_{i\in I_n} |a_i|$ (voir cet exercice).
Permuter des sommes
Pour démontrer que l'on peut donner un sens à $\sum_n\sum_p u_{n,p}$, il suffit de démontrer que l'on peut donner un sens à $\sum_p \sum_n |u_{n,p}|$ (remarquer qu'on a permuté les sommes et mis un module). Cela revient en effet à démontrer que la famille est sommable (voir cet exercice).