Méthodes : espaces vectoriels
Pour démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que $0_E\in F$ et que, pour tout couple $(x,y)\in F^2$ et tout scalaire $\lambda\in\mathbb K$, on a $$\left\{ \begin{array}{l} x+y\in F\\ \lambda x\in F. \end{array} \right.$$ On peut aussi conclure directement si $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ou si on arrive à écrire $F$ sous la forme $F=\vect(u_1,\dots,u_n)$.
Si on veut démontrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, il faut trouver un contre-exemple à une propriété vérifiée par les sous-espaces vectoriels. Le plus souvent
- on montre que $0_E\notin F$;
- ou bien on trouve $x,y\in F$ tel que $x+y\notin F$;
- ou bien on trouve $x\in F$ et $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\lambda x\notin F$
Pour démontrer que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe, on vérifie simplement que $F\cap G=\{0\}$ (voir cet exercice).
Pour prouver que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ :
- on commence par prouver qu'ils sont en somme directe;
- on procède ensuite souvent par analyse synthèse. On prend $x\in E$ et on suppose qu'il s'écrit $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$. On utilise ensuite les propriétés de $F$ et $G$ pour essayer de trouver la valeur de $y$ et la valeur de $z$. Ensuite, on passe à la synthèse. On pose, en fonction du travail effectué auparavant, $y=\dots$, $z=\dots$, on vérifie que $x=y+z$, que $y\in F$ et $z\in G$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Pour démontrer qu'une famille $(x_1,\dots,x_n)$ est libre, on écrit une relation de liaison $$\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i=0$$ et on essaie de démontrer que tous les $\alpha_i$ sont nuls. Pour cela :
- si les $x_i$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n$, on écrit ce que cela signifie coordonnées par coordonnées, et on trouve un système en les $\alpha_i$ à résoudre (voir cet exercice).
- si les $x_i$ sont des polynômes, on peut essayer de raisonner sur le degré (voir cet exercice).
- si les $x_i$ sont des fonctions, on peut
- évaluer les fonctions en certains points bien choisis
- dériver la relation pour obtenir d'autres équations
- factoriser par la fonction "dominante" et calculer des limites…