Méthodes : Ensembles, applications, relations
Egalité d'ensembles
Pour démontrer que $A=B$, on démontre que $A\subset B$ et que $B\subset A$.
Applications injectives
Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est injective, on peut démontrer :
- que pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$, d'inconnue $x\in E$, admet au plus une solution;
- que pour tous $x,x'\in E$, l'équation $f(x)=f(x')$ entraine que $x=x'$;
Applications surjectives
Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est surjective, on démontre que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ dans $E$.
Applications bijectives
Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est bijective, on peut
- démontrer qu'elle est injective et surjective;
- démontrer que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet une unique solution;
- démontrer qu'il existe une application $g:F\to E$ telle que $f\circ g=Id_F$ et $g\circ f=Id_E$. Dans ce cas, $g$ est la réciproque de $f$.
Réciproque
Pour calculer la réciproque d'une application $f:E\to F$ bijective, on résout pour tout $y$ de $F$ l'équation $y=f(x)$, d'inconnue $x\in E$, c'est-à-dire que l'on exprime $x$ en fonction de $y$.
Relations
Pour démontrer qu'une relation est une relation d'ordre ou une relation d'équivalence, on applique la définition!