Méthodes : espaces vectoriels
Pour démontrer qu'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ est une base de $E$, on peut
- prouver qu'elle est libre et génératrice (voir cet exercice);
- prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$, remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ (voir cet exercice).
Pour compléter une famille libre $(v_1,\dots,v_p)$ d'un espace vectoriel $E$, on utilise le théorème de la base incomplète : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, on sait qu'on peut compléter $(v_1,\dots,v_p)$ avec $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$ pour obtenir une base de $E$. On choisit donc $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$, par exemple $(e_1,\dots,e_{n-p})$ et on regarde si la famille $(v_1,\dots,v_p,e_1,\dots,e_{n-p})$ est libre. Si c'est le cas, on a terminé. Sinon, on recommence en choisissant $n-p$ autres vecteurs. Certains choix peuvent ne pas fonctionner mais on est sûr qu'au moins un choix conduira à une base (voir cet exercice).
- chercher une famille génératrice $\mathcal B$ de $F$;
- si $\mathcal B$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
Pour trouver une base de la somme $F+G$ de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$, on peut :
- trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$, une base $\mathcal B_2$ de $G$;
- on sait alors que $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est une famille génératrice de $F+G$;
- si $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Pour démontrer que $E=F\oplus G$, on peut :
- trouver la dimension de $F$, la dimension de $G$, vérifier que $F\cap G=\{0\}$ puis que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$ (voir cet exercice).
- trouver une base de $F$, une base de $G$, et vérifier que la concaténation des deux est une base de $E$ (voir cet exercice).
Pour démontrer que les deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont égaux, on peut :
- démontrer que $F\subset G$ et que $\dim F=\dim G$ (voir cet exercice).
- si $F=\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$, démontrer que chaque $u_i$ est élément de $\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$ (autrement dit, chaque $u_i$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(v_1,\dots,v_q)$) puis que chaque $v_j$ est élément de $\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ (voir cet exercice).
- trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$.
- compléter, à l'aide d'une base de $E$, $\mathcal B_1$ en une base $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ de $E$.
- l'espace vectoriel engendré par $\mathcal B_2$ est alors un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Lorsque $E=F\oplus G$, pour décomposer un élément $u$ de $E$ de façon unique en $u_F+u_G$, avec $u_F\in F$ et $u_G\in G$,
- on peut chercher une base $\mathcal B_F$ de $F$ et une base $\mathcal B_G$ de $G$. $\mathcal B=\mathcal B_F\cup\mathcal B_G$ est alors une base de $E$. Il suffit maintenant de décomposer $u$ dans cette base (voir cet exercice).
- si $F$ est donné par un système d'équations et $G$ par une famille génératrice $(g_1,\dots,g_p)$, on peut écrire que $u_G=a_1 g_1+\cdots+a_p g_p$, que $u_F=u-u_G$, et déterminer $a_1,\dots,a_p$ en utilisant les équations qui définissent $F$ (voir cet exercice).