Méthodes : groupe symétrique et déterminant
Décomposer une permutation en produit de cycles à supports disjoints
Pour décomposer une permutation $\sigma\in S_n$ en produit de cycles à supports disjoints,
- on commence par rechercher les images successives de $1$ par cette permutation, jusqu'à revenir en 1. Si les images successives sont $b_1,\dots,b_k$, on a un premier cycle $(1\ b_1\ \dots\ b_k)$.
- on cherche ensuite le premier élément de $\{1,\dots,n\}$ qui n'est pas dans l'ensemble des images successives de $1$, et on fait la même opération avec cet élément.
- on continue ainsi jusqu'à épuiser tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$
Décomposer une permutation en produit de transpositions
Pour décomposer une permutation $\sigma\in S_n$ en produit de transpositions,
- on commence par la décomposer en produit de cycles à supports disjoints;
- on décompose chaque cycle en produit de transpositions, par exemple comme ci-dessous : $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_p)=(a_1\ a_2)\circ(a_2\ a_3)\circ\dots\circ(a_{p-1}\ a_p).$$
Calculer la signature d'une permutation
Pour calculer la signature d'une permutation $\sigma\in S_n$, on peut
- la décomposer en produit de cycles à support disjoint ou en produit de transpositions;
- utiliser la règle $\veps(\sigma \sigma')=\veps(\sigma)\veps(\sigma')$;
- utiliser le fait que la signature d'un cycle de longueur $p$ est $(-1)^{p-1}$.
Calculer la puissance d'une permutation
Pour calculer une puissance d'une permutation $\sigma\in S_n$, on peut
- décomposer cette permutation en produit de cycles à supports disjoints;
- calculer la puissance de chaque cycle, sachant que si on a affaire à un cycle $s$ de longueur $p$, on peut raisonner modulo $p$ puisque $s^p=Id$.
Calculer le déterminant d'une matrice
Pour calculer le déterminant d'une matrice, on peut
- effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour se ramener à des déterminants de matrices
plus petites ou à une matrice triangulaire
supérieure (voir cet exercice).
- développer suivant une ligne ou une colonne (après éventuellement avoir effectué des opérations élémentaires) dans l'espoir d'obtenir une formule de récurrence (voir cet exercice).
- voir le déterminant comme un polynôme en une certaine variable, identifier son degré et chercher ses racines pour connaitre entièrement le polynôme (voir cet exercice).
Calculer le déterminant d'un endomorphisme
Pour calculer le déterminant d'un endomorphisme, on cherche une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est la plus simple possible, et on calcule le déterminant de cette matrice (voir cet exercice).