Méthodes : dérivabilité
Démontrer qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$
- on peut utiliser la définition avec le taux d'accroissement (voir cet exercice);
- si la fonction est définie par morceaux, calculer la dérivée à droite et la dérivée à gauche, et comparer si elles sont égales (voir cet exercice);
- on peut appliquer le théorème de prolongement d'une dérivée (voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer des formules faisant intervenir la dérivée d'ordre $n$ d'une fonction
- il s'agit souvent d'appliquer le théorème de Rolle à la bonne fonction (voir cet exercice).
Calculer la dérivée $n$-ième d'une fonction
- on peut appliquer la formule de Leibniz (voir cet exercice).
- on peut calculer les premières dérivées, conjecturer le résultat et procéder par récurrence (voir cet exercice).
Étudier des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$
Soit $f:[a,b]\to [a,b]$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
- on peut démontrer que $|f'|\leq k<1$ sur $I=[a,b]$.
- on démontre ensuite que $f$ admet un point fixe $\gamma$ dans $[a,b]$ à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g(x)=f(x)-x$.
- on utilise l'inégalité des accroissements finis pour démontrer par récurrence sur $n$ que $$|u_n-\gamma|\leq k^n |u_0-\gamma|.$$
Obtenir des inégalités
L'égalité et l'inégalité des accroissements finis permettent souvent d'obtenir des inégalités. Par exemple,
si on applique l'égalité des accroissements finis entre $a$ et $b$, on peut souvent contrôler la différence $f(a)-f(b)$
si on connait des informations sur la dérivée $f'$ sur $[a,b]$
(voir cet exercice).