Méthodes : complexes

Mettre un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique

Pour mettre un quotient de deux nombres complexes $\frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $z_2$, $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot\overline{z_2}}{z_2\cdot\overline{z_2}}$$ puis on développe, sachant que $z_2\cdot \overline{z_2}=|z_2|^2$ est un réel (voir cet exercice).

Mise sous forme trigonométrique d'un complexe

Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe $z=a+ib$, on met en facteur le module $\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$ Pour trouver $\theta$, on peut s'aider du cercle trigonométrique (voir cet exercice).

Pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié : $$re^{i\alpha}+re^{i\beta}=re^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}2}.$$ Attention! $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de $\pi$ (voir cet exercice).

Calcul de la puissance d'un nombre complexe

Pour calculer la puissance d'un nombre complexe, on l'écrit sous forme trigonométrique (voir cet exercice).

Racine carrée d'un nombre complexe

Si $w=x+iy$, on cherche les solutions de $z^2=w$ avec $z=u+iv$ en écrivant que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \Re e(z^2)&=&\Re e(w)\\ \Im m(z^2)&=&\Im m(w)\\ |z|^2&=&|w| \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} u^2-v^2&=&x\\ 2uv&=&y\\ u^2+v^2&=&\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$ La première et la dernière équation donnent $u$ et $v$ au signe près, la seconde donne le signe du produit $uv$, donc les deux racines souhaitées (voir cet exercice).

Racine $n$-ième d'un nombre complexe

Pour calculer la racine $n$-ième d'un nombre complexe, c'est-à-dire pour résoudre l'équation $z^n=a$ avec $a\neq 0$,

on commence par mettre $a$ sous forme trigonométrique, $a=re^{i\theta}$
on utilise le théorème qui nous dit qu'alors les solutions sont les nombres complexes $r^{1/n}e^{i\left(\frac\theta n+\frac{2k\pi}n\right)}$, avec $k=0,\dots,n-1$.

Résoudre une équation $P(z)=0$

Pour résoudre une équation $P(z)=0$, où $P$ est un polynôme de degré $3$ :

on cherche une solution "évidente" $z_0$ à cette équation;
on factorise $P(z)$ en $P(z)=(z-z_0)(a z^2+bz+c)$. On détermine les coefficients $a,$ $b$ et $c$ en développant le membre de droite et en procédant par identification;
on résout enfin l'équation $az^2+bz+c=0$ comme n'importe quelle équation du second degré. Si les solutions de cette équation sont $z_1$ et $z_2$, alors l'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est $\{z_0;z_1;z_2\}$

(voir cet exercice).

Cette méthode peut aussi s'envisager si $P$ est de degré supérieur, mais dans ce cas il faut trouver plus de racines évidentes! Si le degré de $P$ est au moins 4, on peut aussi regarder si un changement d'inconnues ne nous ramène pas à un polynôme de degré 2. C'est le cas des équations bicarrées par exemple (voir cet exercice).

Résolution de l'équation $e^z=w$.

Pour résoudre l'équation $e^z=w$, on écrit $w$ sous forme trigonométrique $w=re^{i\theta}$ et $z$ sous forme algébrique, $z=a+ib$. L'équation devient $$e^ae^{ib}=re^{i\theta}\iff a=\ln r\textrm{ et }b=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z$$ (voir cet exercice).

Applications des nombres complexes à la trigonométrie

Pour linéariser $\sin^n t$ et $\cos^n t$ :

on utilise la formule d'Euler en remplaçant $\cos t$ par $\frac{e^{it}+e^{-it}}2$ et $\sin t$ par $\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$;
on développe en utilisant la formule du binôme de Newton;
on regroupe les exponentielles d'angles opposés en utilisant à nouveau la formule d'Euler

(voir cet exercice).

Pour exprimer $\sin(nt)$ et $\cos(nt)$ en un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$ :

on utilise la formule de Moivre $$(\cos t+i\sin t)^n=\cos(nt)+i\sin(nt),$$
on développe le membre de gauche par la formule du binôme de Newton;
on identifie les parties réelles et les parties imaginaires

(voir cet exercice).

Pour factoriser des sommes de sinus et de cosinus, il est souvent utile d'écrire $\cos(nt)=\Re e(e^{int})=\Re e((e^{it})^n)$, puis de reconnaître une somme géométrique (voir cet exercice).

Éléménts caractéristiques d'une similitude

Si $a\neq 1$, alors la transformation $z\mapsto az+b$ est une similtude directe. Son rapport est $|a|,$ son angle est un argument de $a,$ et son centre est le point d'affixe l'unique solution de $z=az+b$ (voir cet exercice).

Nombres complexes