Méthodes : Calcul algébrique
Changement d'indice dans une somme
Calcul de sommes
Pour calculer une somme, on peut :
- se ramener à des sommes connues : sommes des termes d'une suite géométrique, d'une suite arithmétique, somme des premiers entiers ou des premiers carrés d'entiers (voir cet exercice).
- se ramener à une somme télescopique : ne somme $\sum_{k=m}^n a_k$ se simplifie en $b_{n+1}-b_m$ si on peut écrire chaque $a_k$ sous la forme $a_k=b_{k+1}-b_k$ (voir cet exercice).
- utiliser la formule du binôme de Newton pour se ramener à une expression du type $(a+b)^n$ ((voir cet exercice).
- faire des sommations par paquets : parfois, si on doit calculer une somme de $n$ termes, la somme de deux (ou trois, ou $p$) termes consécutifs se calcule bien. On sépare alors la somme totale en paquet de deux (ou trois, ou $p$), et on ajoute les sommes de chaque paquet (voir cet exercice).
- dériver : lorsqu'une somme dépend d'une quantité $x$, et donc qu'on peut l'écrire $S(x)$, il arrive parfois que l'on ait $S(x)=T'(x)$ pour une autre somme $T$ qu'il est facile de calculer. Dans ce cas, il suffit de dériver l'expression obtenue pour $T$ pour obtenir celle de $S$. C'est en particulier le cas lorsque la somme fait intervenir des termes du type $nx^{n-1}$ par exemple (voir cet exercice).
Calcul d'une somme double
Pour calculer une somme double, on peut :
- si la famille à sommer s'écrit sous la forme $a_{i,j}=b_i\times c_j$, reconnaître un produit de deux sommes : $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p b_ic_j=\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)\left(\sum_{j=1}^p c_j\right).$$
- procéder par sommations successives.
Permuter deux sommations successives