$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Calcul algébrique

Changement d'indice dans une somme
Calcul de sommes

Pour calculer une somme, on peut :

  • se ramener à des sommes connues : sommes des termes d'une suite géométrique, d'une suite arithmétique, somme des premiers entiers ou des premiers carrés d'entiers (voir cet exercice).
  • se ramener à une somme télescopique : ne somme $\sum_{k=m}^n a_k$ se simplifie en $b_{n+1}-b_m$ si on peut écrire chaque $a_k$ sous la forme $a_k=b_{k+1}-b_k$ (voir cet exercice).
  • utiliser la formule du binôme de Newton pour se ramener à une expression du type $(a+b)^n$ ((voir cet exercice).
  • faire des sommations par paquets : parfois, si on doit calculer une somme de $n$ termes, la somme de deux (ou trois, ou $p$) termes consécutifs se calcule bien. On sépare alors la somme totale en paquet de deux (ou trois, ou $p$), et on ajoute les sommes de chaque paquet (voir cet exercice).
  • dériver : lorsqu'une somme dépend d'une quantité $x$, et donc qu'on peut l'écrire $S(x)$, il arrive parfois que l'on ait $S(x)=T'(x)$ pour une autre somme $T$ qu'il est facile de calculer. Dans ce cas, il suffit de dériver l'expression obtenue pour $T$ pour obtenir celle de $S$. C'est en particulier le cas lorsque la somme fait intervenir des termes du type $nx^{n-1}$ par exemple (voir cet exercice).
Calcul d'une somme double

Pour calculer une somme double, on peut :

  • si la famille à sommer s'écrit sous la forme $a_{i,j}=b_i\times c_j$, reconnaître un produit de deux sommes : $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p b_ic_j=\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)\left(\sum_{j=1}^p c_j\right).$$
  • procéder par sommations successives.
(voir cet exercice)

Permuter deux sommations successives