Méthodes : applications linéaires
Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à $\{0\}$ (voir cet exercice ou celui-ci ou celui-ci)
Pour trouver une base de l'image de $u$, où $u\in\mathcal L(E,F)$, on peut
- remarquer que si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, alors $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(u)$.
- si la famille est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
Si on a calculé auparavant le noyau d'une application linéaire, le théorème du rang nous donne la dimension de son image. Dans ce cas, il suffit de trouver une famille libre ayant le bon nombre de vecteurs de la famille génératrice $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ de $\textrm{Im}(u)$ (voir cet exercice).
Pour construire des applications linéaires vérifiant des propriétés particulières, on peut
- définir l'application linéaire à l'aide de l'image d'une base;
- définir l'application linéaire en utilisant une décomposition en somme directe $E=F\oplus G$. Il suffit alors de définir l'application linéaire séparément sur $F$ et sur $G$;
Pour démontrer qu'une application linéaire $f$ définie sur l'espace vectoriel $E$ est une projection, on calcule $f\circ f$ et on vérifie que $f\circ f=f$. Pour déterminer ses éléments caractéristiques (ie déterminer $F$ et $G$ de sorte que $f$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$), on calcule $\textrm{Im}(f)=F$ et $\ker(f)=G$ (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une application linéaire $f$ définie sur l'espace vectoriel $E$ est une symétrie, on calcule $f\circ f$ et on vérifie que $f\circ f=\textrm{Id}_E$. Pour déterminer ses éléments caractéristiques (ie déterminer $F$ et $G$ de sorte que $f$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$), on calcule $\ker(f-\textrm{Id}_E)=F$ et $\ker(f+\textrm{Id}_E)=G$ (voir cet exercice).