$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices math sup : variables aléatoires finies

Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotés de 1 à 6 et on note $X$ la variable aléatoire donnée par le numéro de la face du dessus. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.
  1. Déterminer la loi de $X$, calculer son espérance.
  2. On pose $Y=1/X$. Déterminer la loi de $Y$, et son espérance.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - En plein dans le mille! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un joueur tire sur une cible de 10cm de rayon, constituée de couronnes concentriques, délimitées par des cercles de rayons 1,2, ..., 10 cm, et numérotées respectivement de 10 à 1. La probabilité d’atteindre la couronne $k$ est proportionnelle à l’aire de cette couronne, et on suppose que le joueur atteint sa cible à chaque lancer. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le numéro de la cible.
  1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
  2. Le joueur gagne $k$ euros s’il atteint la couronne numérotée $k$ pour $k$ compris entre 6 et 10, tandis qu’il perd 2 euros s’il atteint l’une des couronnes périphériques numérotées de 1 à 5. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Plus grand nombre tiré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
  • Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
  • Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des $n$ vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (=celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième méthode. On pose $Y_n=\frac{X_n}{n}.$
  1. Déterminer la loi de $Y_n$, et montrer que son espérance vaut : $1+\frac{1}{n}-(0.85)^n$.
  2. Etudier la fonction $f(x)=ax+\ln x$, pour $a=\ln(0,85)$. Donner la liste des entiers $n$ tels que $f(n)>0$.
  3. Montrer que $f(n)>0$ équivaut à $E(Y_n)<1$. En déduire la réponse (en fonction de $n$) à la question posée.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une entreprise souhaite recruter un cadre. $n$ personnes se présentent pour le poste. Chacun d'entre eux passe à tour de rôle un test, et le premier qui réussit le test est engagé. La probabilité de réussir le test est $p\in ]0,1[$. On pose également $q=1-p$. On définit la variable aléatoire $X$ par $X=k$ si le $k$-ième candidat qui passe le test est engagé, et $X=n+1$ si personne n'est engagé.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. En dérivant la formule donnant $\sum_{k=0}^n x^k$, calculer $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ pour $x\neq 1$.
  3. En déduire l'espérance de $X$.
  4. Quelle est la valeur minimale de $p$ pour avoir plus d'une chance sur deux de recruter l'un des candidats?
Indication
Corrigé
Enoncé
On s'intéresse à une maladie génétique. Elle est portée par un gène particulier qui existe en deux formes : l'allèle A (sain), et l'allèle B (malade). Il existe donc par chaque individu trois génotypes possibles : 1 (A A), 2 (A B) et 3 (B B). Un individu est malade lorsqu'il porte le génotype (B B). Le but de l'exercice est de démontrer que la proportion de malades est constante au cours du temps.
Pour cela, on s'intéresse à une population dont la proportion du génotype $i$, à la génération $n$, est noté $u_i(n)$. On rappelle que chaque enfant reçoit un des deux allèles de chacun de ses parents (et ce de façon complètement aléatoire). On suppose aussi que les procréations dans la population se font complètement aléatoirement.
On fixe $n\geq 0$ et on note $E$ le génotype d'un enfant de la $n+1$-ième génération, $P$ et $M$ les génotypes respectifs du père et de la mère.
  1. Calculer les probabilités conditionnelles $P(E=1| (P,M)=(i,j) )$.
  2. En déduire la loi de $E$ en fonction de $u_i(n)$.
  3. On pose $\theta(n)=u_1(n)+\frac 12 u_2(n)$. Exprimer $u_{i}(n+1)$ en fonction de $\theta(n)$.
  4. Démontrer que la proportion de malades ne varie plus à partir de la génération $2$.
Indication
Corrigé
Loi uniforme
Exercice 7 - Trouver le paramètre d'une loi uniforme connaissant son espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $\{0,1,\dots,a\}$, où $a\in\mathbb N$. On suppose que $E(X)=6$. Déterminer $a$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dispose de $n$ urnes numérotées de $1$ à $n$, l'urne numérotée $k$ comprenant $k$ boules numérotées de $1$ à $k$ indiscernables au toucher. On réalise l'expérience aléatoire suivante. On choisit d'abord au hasard et sans préférence une urne, puis on prélève une boule dans cette urne. On note $X$ le numéro de l'urne choisie et on note $Y$ le numéro de la boule tirée.
  1. Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$?
  2. Pour $(i,k)\in\{1,\dots,n\}^2$, déterminer $P(Y=k|X=i)$.
  3. Déterminer la loi de $Y$.
  4. Quelle est l'espérance de $Y$? Comment l'interprétez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On repète $n$ fois l'expérience suivante : on tire une boule de l'urne, on la remet et on ajoute une boule de la même couleur. Soit $k\in\{1,\dots,n\}$.
  1. Quel est le nombre de boules dans l'urne après la $k$-ième expérience?
  2. On note $N_k$ le nombre de boules blanches dans l'urne après la $k$-ième expérience. Montrer que $N_k$ suit une loi uniforme sur $\{1,\dots,k+1\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Minimum et maximum de deux dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés équilibrés, on note $U_1$ et $U_2$ les variables aléatoires correspondant aux résultats obtenus. On appelle $X=\min(U_1,U_2)$ et $Y=\max(U_1,U_2)$.
  1. Donner la loi de $X$. En déduire $E(X)$.
  2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $E(Y)$.
  3. Exprimer $XY$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $\textrm{Cov}(X,Y)$. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Deux variables aléatoires suivant une loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$.
  1. Déterminer $P(X=Y)$.
  2. Déterminer $P(X\geq Y)$.
  3. Déterminer la loi de $X+Y$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Minimum de variables aléatoires uniformes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé fini, indépendantes, et suivant une loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. On note $M=\min(X_1,\dots,X_n)$.
  1. Pour $k\in\{1,\dots,n\}$, déterminer $P(M\geq k)$.
  2. En déduire la loi de $M$.
  3. Soit $A$ l'événement : "il existe $i\in\{1,\dots,n\}$ tel que $X_i=1$". Démontrer que $P(A)\geq 1-\frac 1e$.
Indication
Corrigé
Loi binomiale
Enoncé
$A$ et $B$ sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité $p$ de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si strictement moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous? (on discutera en fonction de $p$).
Indication
Corrigé
Enoncé
Un restaurateur accueille chaque soir 70 clients. Il sait qu'en moyenne, deux clients sur cinq prennent une crème brûlée. Il pense que s'il prépare 30 crèmes brûlées, dans plus de 70\% des cas, la demande sera satisfaite.
  1. A-t-il raison?
  2. Combien de crèmes brûlées doit-il fabriquer au minimum pour que la demande soit satisfaite dans au moins 90\% des cas.
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance $n$ fois une pièce parfaitement équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir strictement plus de piles que de faces.
Indication
Corrigé
Enoncé
L'examen du code de la route se compose de 40 questions. Pour chaque question, on a le choix entre 4 réponses possibles. Une seule de ces réponses est correcte. Un candidat se présente à l'examen. Il arrive qu’il connaisse la réponse à certaines questions. Il répond alors à coup sûr. S’il ignore la réponse, il choisit au hasard entre les 4 réponses proposées. On suppose toutes les questions indépendantes et que pour chacune de ces questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse est $p$. On note, pour $1\leq i\leq 40$, $A_i$ l'événement : "le candidat donne la bonne réponse à la $i$-ème question". On note $S$ la variable aléatoire égale au nombre total de bonnes réponses.
  1. Calculer $P(A_i)$.
  2. Quelle est la loi de $S$ (justifier!)?
  3. A quelle condition sur $p$ le candidat donnera en moyenne au moins 36 bonnes réponses?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Méthode du maximum de vraisemblance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un étang contient des brochets et des truites. On note $p$ la proportion de truites dans l'étang. On souhaite évaluer $p$. On prélève 20 poissons au hasard. On suppose que le nombre de poissons est suffisamment grand pour que ce prélèvement s'apparente à 20 tirages indépendants avec remise. On note $X$ le nombre de truites obtenues.
  1. Quelle est la loi de $X$?
  2. Le prélèvement a donné $8$ truites. Pour quelle valeur de $p$ la quantité $P(X=8)$ est-elle maximale?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un examen consiste en un QCM de 15 questions. Pour chaque question, 3 réponses sont possibles. Les étudiants répondent à chaque question indépendamment. L'enseignant estime que les étudiants ayant préparé l'examen sont $70\%$ et répondent à une question correctement avec probabilité 0,8. Les autres étudiants choisissent les réponses au hasard. Il faut au moins 8 bonnes réponses pour réussir l'examen.
  1. Quelle est la probabilité qu'un étudiant, choisi au hasard, réussisse l'examen?
  2. Si un étudiant échoue, quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Maximum d'une loi binomiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0,1[$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ la probabilité $p_k=P(X=k)$ est maximale?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une grenouille monte les marches d'un escalier (supposé infini) en partant du sol et en sautant
  • ou bien une seule marche, avec probabilité $p$;
  • ou bien deux marches, avec la probabilité $1-p$.
On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres.
  1. Dans cette question, on observe $n$ sauts de la grenouille, et on note $X_n$ le nombre de fois où la grenouille a sauté une marche, et $Y_n$ le nombre de marches franchies. Quelle est la loi de $X_n$? Exprimer $Y_n$ en fonction de $X_n$. En déduire l'espérance et la variance de $Y_n$.
  2. Pour $k\geq 1$, on note $p_k$ la probabilité que la grenouille passe par la marche $k$. Que vaut $p_1$? Que vaut $p_2$? Établir une formule de récurrence liant $p_k$ et $p_{k-1}$. En déduire la valeur de $p_k$ pour $k\geq 1$.
  3. On note désormais $Z_n$ le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la $n$-ième marche. Écrire un algorithme qui simule la variable aléatoire $Z_n$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 21 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. Démontrer que $$E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X>n).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé fini. Démontrer que $E(X)^2\leq E(X^2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Maximiser l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X_1$ et $X_2$, définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{B},P)$, et suivant la loi uniforme discrète sur $\{1,2,\dots,n\}$. On considère $a$ un entier de $\{1,2,\dots,n\}$, et $Y$ la variable aléatoire définie par : $$\forall \omega\in\Omega,\ Y(\omega)= \left\{\begin{array}{ll} X_1(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)\leq a\\ X_2(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)>a. \end{array}\right.$$
  1. Déterminer la loi de $Y$ (vérifier que l'on obtient bien une loi de probabilité).
  2. Calculer l'espérance de $Y$ et la comparer à l'espérance de $X_1$.
  3. Pour quelles valeurs de $a$ cette espérance est-elle maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Entropie d'une variable aléatoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire discrète finie prenant la valeur $x_i$ avec probabilité $p_i$, pour $i=1,\dots,n$. On définit l'entropie de $X$ par : $$H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i\ln(p_i)$$ avec la convention $x\ln x=0$ si $x=0$ (ce qui correspond au prolongement par continuité en $0$ de la fonction $x\mapsto x\ln x$).
  1. Démontrer que $H(X)\geq 0$.
  2. Démontrer que $H(X)=0$ si et seulement si $X$ est presque sûrement constante, c'est-à-dire s'il existe $i\in \{1,\dots, n\}$ tel que $p_i=1$.
  3. Vérifier que, pour tout $k=1,\dots,n$, on a $$(-np_k)\ln (np_k)\leq 1-np_k$$ avec égalité si et seulement si $np_k=1$.
  4. En déduire que $H(X)\leq \ln n$.
  5. Démontrer que $H(X)=\ln n$ si et seulement si $X$ est équidistribuée, ie si $p_i=1/n$ pour tout $i=1,\dots,n$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Fonction génératrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$, on appelle fonction génératrice la fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie par $$G_X(x)=\sum_{k=0}^n p_k x^k$$ où $p_k=P(X=k)$.
  1. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$; une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
  2. Démontrer que deux variables aléatoires discrètes finies $X$ et $Y$ ont même loi si et seulement si $G_X=G_Y$.
  3. Montrer que $E(X)=G_X'(1)$ et $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big( G_X'(1)\big)^2.$ Retrouver l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  4. Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes finies indépendantes, alors $G_{X+Y}=G_XG_Y$. Retrouver alors la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  5. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectives $\mathcal B(n,p)$ et $\mathcal B(m,p)$. Quelle est la loi de $Z=X+Y$?
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Somme de variables aléatoires ayant une répartition uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $a,b,c,d,\lambda$ 5 réels strictement positifs. Montrer qu'il est impossible que $$\left\{ \begin{array}{rcl} ab&=&\lambda\\ cd&=&\lambda\\ ac+bd&\leq&\lambda \end{array}\right. $$
  2. Soit $n\geq 1$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ dont la somme suit une loi uniforme sur $\{0,\dots,2n\}$?
Indication
Corrigé
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev
Enoncé
On jette $3600$ fois un dé équilibré à $6$ faces. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro $1$ soit compris entre $480$ et $720.$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Loi faible pour des sommes de Bernoulli qui n'ont pas la même loi [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose que, pour chaque $n\geq 1$, $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_i$. On suppose en outre que les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes. On pose $$S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n\textrm{ et }m_n=\frac{p_1+\dots+p_n}n.$$ Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P(|S_n-m_n|\geq\veps)\to 0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|\geq\veps\right)\leq\frac 1{4n\veps^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Une variante de l'inégalité de Markov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle finie à valeurs dans $\mathbb R_+$, $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+^*$ une fonction croissante. Démontrer que $$P(X\geq a)\leq \frac{E(f(X))}{f(a)}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Surréservation et inégalité de Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une compagnie aérienne exploite un avion Paris-Montréal d'une capacité de 150 places. Pour ce vol, une analyse statistique a montré qu'un passager ayant réservé son billet se présentait à l'embarquement avec une probabilité de $p=0,\!75$. La compagnie souhaite optimiser le remplissage de l'avion et souhaite vendre $n$ billets, avec $n>150$, mais en limitant le risque que plus de 150 personnes se rendent à l'embarquement à moins de $5\%$. On supposera dans la suite que $np< 150$.
On définit la variable aléatoire $S_n$ comme le nombre de personnes, parmi les $n$ ayant réservé un billet, se présentant à l'embarquement.
  1. Quelle est la loi de $S_n$?
  2. En remarquant que $(S_n\geq 150)\subset (|S_n-np|\geq 150-np)$, démontrer que $$P(S_n\geq 150)\leq \frac{np(1-p)}{(150-np)^2}.$$
  3. Résoudre sur $]0,150[$ l'inéquation $\frac{x(1-p)}{(150-x)^2}\leq 0,\!05$.
  4. Combien la compagnie peut-elle vendre de billets tout en s'assurant que la probabilité que plus de 150 clients se présentent à l'embarquement est inférieure ou égale à $5\%$?
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Méthode de Monte-Carlo [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit le plan d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On choisit au hasard, et uniformément, un point $M$ dans le carré unité, c'est-à-dire le carré dont les sommets sont les points de coordonnées $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,0)$ et $(1,1)$. On note $X$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le point est dans le quart de disque unité, et $0$ sinon.
  1. Justifier que $X$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre $p$.
  2. Écrire une fonction Python $\verb+simulX()+$ qui simule cette variable aléatoire $X$.
  3. On répète $n$ fois et de façon indépendante cette expérience et on note $X_n$ le résultat obtenu lors de la $n$-ième expérience. On pose $S_n$ la variable aléatoire $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Quelle est la loi de $S_n$?
  4. On pose $P_n=\frac{4S_n}n$ et on considère $\veps>0$. Justifier que $$P(|P_n-\pi|\geq \veps)\leq\frac{\pi(4-\pi)}{\veps^2 n}.$$
  5. Combien suffit-il de tirer de points pour que $P_n$ constitue une approximation de $\pi$ à $10^{-2}$ près, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$?
  6. Écrire une fonction Python $\verb+approxpi()+$ utilisant la fonction $\verb+simulX()+$ qui renvoie une approximation de $\pi$ à $10^{-2}$ près, avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Inégalité de Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $a>0$.
  1. Démontrer que, pour tout $t\geq 0$, $P\big(X-E(X)\geq a\big)\leq \frac{t^2+V(X)}{(a+t)^2}$.
  2. En déduire que $P\big(X-E(X)\geq a\big)\leq \frac{V(X)}{V(X)+a^2}.$
  3. Démontrer l'inégalité de Cantelli : $P\big(|X-E(X)|\geq a\big)\leq \frac{2V(X)}{V(X)+a^2}$. Comparer avec l'inégalité de Tchebychev.
Indication
Corrigé
Vecteurs aléatoires discrets finis
Exercice 34 - Tirage simultané dans une urne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire simultanément deux boules dans une urne contenant 4 boules indiscernables au toucher et numérotées de $1$ à $4$. On note $U$ le numéro de la plus petite boule, et $V$ le numéro de la plus grande boule. Déterminer la loi conjointe de $(U,V)$, puis les lois de $U$ et de $V$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Couple de variables aléatoires uniformes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,P)$ un espace probabilisé fini et soit $X:\Omega\to E$ et $Y:\Omega\to F$ deux variables aléatoires. Démontrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
  1. $(X,Y)\sim \mathcal U(E\times F)$;
  2. $X\sim \mathcal U(E)$, $Y\sim\mathcal U(F)$ et $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dispose de $n$ boites numérotées de $1$ à $n$. La boite $k$ contient $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit au hasard de façon équiprobable une boite, puis une boule dans cette boite. On note $X$ le numéro de la boite et $Y$ le numéro de la boule.
  1. Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
  2. En déduire la loi de $Y$.
  3. Calculer l'espérance de $Y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $\{0,\dots,n\}^2$.
  1. Déterminer la loi de $X$, la loi de $Y$, la loi de $X+Y$.
  2. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé