Exercices math sup : Trigonométrie

On sait que $538=179\times 3+1$ et donc $$\cos\left(\frac{538\pi}{3}\right)=\cos\left(179\pi+\frac{\pi}3\right)=\cos\left(\frac{4\pi}3\right)=-\frac 12.$$ De même, on a $123=20\times 6+3$ et donc $$\sin\left(\frac{123\pi}6\right)=\sin\left(20\pi+\frac{\pi}2\right)=\sin\left(\frac\pi 2\right)=1.$$ De même, on a $77=19\times 4+1$ et donc $$\tan\left(-\frac{77\pi}4\right)=\tan\left(-19\pi-\frac\pi 4\right)=\tan\left(-\frac\pi 4\right)=-1.$$

D'après la formule $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, on a $$2\cos^2(\pi/12)=\cos(\pi/6)+1=\frac{\sqrt 3}2+1.$$ Puisque $\cos(\pi/12)>0$, on a $$\cos\left(\frac\pi{12}\right)=\frac{\sqrt{\sqrt 3+2}}2.$$ On en déduit que $$\sin^2\left(\frac\pi{12}\right)=1-\cos^2\left(\frac\pi{12}\right)=\frac{2-\sqrt 3}{4}.$$ Puisque $\sin(\pi/12)>0$, on a donc $$\sin\left(\frac\pi{12}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt 3}}2.$$ Une autre possibilité pour résoudre cet exercice était de remarquer que $$\frac{\pi}3-\frac\pi4=\frac{\pi}{12}$$ et d'appliquer les formules d'addition $\sin(a-b)$ et $\cos(a-b)$.

On remarque que $2\frac{\pi}8=\frac{\pi}4$. On a donc \begin{align*} \tan(\pi/4)&=\frac{\tan(\pi/8)+\tan(\pi/8)}{1-\tan^2(\pi/8)}\\ &=\frac{2\tan(\pi/8)}{1-\tan^2(\pi/8)}. \end{align*} Puisque $\tan(\pi/4)=1$, $\tan(\pi/8)$ est solution de l'équation $x^2+2x-1=0$. Les deux solutions de cette équation sont $$x_0=\frac{-2-\sqrt 8}{2}=-1-\sqrt{2},\ x_1=\frac{-2+\sqrt 8}2=-1+\sqrt 2.$$ Comme on sait que $\tan(\pi/8)>0$ puisque $\pi/8\in ]0,\pi/2[$, on en déduit que $$\tan\left(\frac\pi 8\right)=\sqrt 2-1.$$

Bien sûr, on peut déduire la troisième formule des deux autres. La plus facile est la troisième, car d'après la formule de duplication de $\tan$ : $$\tan(x)=\tan\left(2\frac x2\right)=\frac{2t}{1-t^2}.$$ Par ailleurs, on a \begin{align*} \sin(x)&=\sin\left(2\frac x2\right)\\ &=2\sin(x/2)\cos(x/2)\\ &=2\tan(x/2)\cos^2(x/2). \end{align*} Puisque de plus $$\cos^2(x/2)=\frac{1}{1+\tan^2(x/2)}$$ on obtient le résultat.

On va démontrer le résultat par récurrence sur $n$. On fixe $x\in\mathbb R$ et pour $n\geq 1$, on note $P_n:"|\sin(nx)|\leq n|\sin(x)|"$.
Initialisation : la propriété est clairement vraie pour $n=1$.
Hérédité : soit $n\geq 1$ tel que $P_n$ est vraie et prouvons $P_{n+1}$. Alors on a $$\sin((n+1)x)=\sin(nx)\cos(x)+\sin(x)\cos(nx).$$ En utilisant l'inégalité triangulaire, puis $|\cos(x)|\leq 1$ et $|\cos(nx)|\leq 1$, on trouve \begin{align*} |\sin((n+1)x)|&\leq |\sin(nx)|\cdot |\cos(x)|+|\sin(x)|\cdot |\cos(nx)|\\ &\leq |\sin(nx)|\cdot 1+|\sin(x)|\cdot 1\\ &\leq n|\sin(x)|+|\sin(x)|\\ &\leq (n+1)|\sin(x)| \end{align*} où l'avant-dernière ligne vient de l'hypothèse de récurrence. Donc $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion : La propriété $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 1$.

On pose $X=\cos(x)$, et l'équation devient $2X^2+9X+4=0$. Son discriminant est $\Delta=49=7^2$, et ses racines sont $X_1=-4$ et $X_2=-1/2$. L'équation $\cos(x)=-4$ n'a aucune solution. Les solutions de l'équation $\cos(x)=-1/2$ sont les réels qui s'écrivent $\frac{4\pi}3+k2\pi$, $k\in\mathbb Z$, et $\frac{-4\pi}3+k2\pi$, $k\in\mathbb Z$. Finalement l'ensemble des solutions est $$\left\{ \frac{4\pi}3+k2\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}\cup \left\{\frac{-4\pi}3+k2\pi:k\in\mathbb Z\right\}.$$

Il faut s'aider du cercle trigonométrique!

1. Pour $x\in [0,2\pi]$, on a $$\sin(x)\geq 1/2\iff x\in\left[\frac{\pi}6;\frac{5\pi}6\right].$$ Pour $x\in [-\pi,\pi]$, on a le même résultat : $$\sin(x)\geq 1/2\iff x\in \left[\frac{\pi}6;\frac{5\pi}6\right].$$ Finalement, par $2\pi$-périodicité, pour $x\in \mathbb R$, on a $$\sin(x)\geq 1/2\iff \exists k\in\mathbb Z,\ x\in \left[\frac{\pi}6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\right].$$
2. Pour $x\in [0,2\pi]$, on a $$\cos(x)\geq 1/2\iff x\in \left[0,\frac\pi3\right]\cup \left[\frac{5\pi}3;2\pi\right].$$ Pour $x\in [-\pi,\pi]$, on a $$\cos(x)\geq 1/2\iff x\in \left[-\frac{\pi}3;\frac{\pi}3\right].$$ On conclut de la même façon par $2\pi$-périodicité, mais on utilise plutôt la deuxième expression qui est plus facile. Finalement, pour $x\in\mathbb R$, $$\cos(x)\geq 1/2\iff \exists k\in \mathbb Z,\ x\in\left[-\frac{\pi}3+2k\pi;\frac{\pi}3+2k\pi\right].$$

Posons $X=\cos(x)$ et $Y=\sin(y)$. Alors le couple $(X,Y)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2X+3Y&=&\sqrt 2-\frac 32\\ 4X+Y&=&2\sqrt 2-\frac 12. \end{array}\right.$$ On résout ce système en remarquant que $$Y-2\times 3Y=2\sqrt 2-\frac 12-2\times\left(\sqrt 2-\frac 32\right)$$ ce qui donne encore $$-5Y=\frac 52\iff Y=-\frac 12.$$ On en déduit ensuite que $X=\frac{\sqrt 2}2$. On a donc $\sin(y)=-\frac 12$ ce qui entraîne que $y=-\pi/6$ ou $y=-5\pi/6$, puis $\cos x=\sqrt 2/2$, ce qui entraîne $x=\pi/4$ ou $x=-\pi/4$. Finalement, on trouve 4 couples de solutions : $$\mathcal S=\left\{\left(\frac \pi4,-\frac \pi 6\right); \left(\frac \pi4,-\frac{5\pi} 6\right);\left(-\frac \pi4,-\frac \pi 6\right);\left(-\frac \pi4,-\frac{5\pi} 6\right)\right\}.$$

C'est une méthode classique. On met en facteur $\sqrt{(\sqrt 3)^2+1^2}=2$, de sorte que $$\sqrt 3\cos x-\sin x=2\left(\frac{\sqrt 3}2\cos x-\frac 12\sin x\right)=2\big(\cos(\pi/6)\cos x-\sin(\pi/6)\sin x\big)=2\cos\left(x+\frac\pi 6\right).$$ L'équation est donc équivalente à $$\cos\left(x+\frac\pi 6\right)=\frac{m}2.$$ Elle admet donc des solutions si et seulement si $m\in[-2,2]$. Si $m=\sqrt 2$, alors on a $$\cos\left(x+\frac\pi 6\right)=\frac{m}2=\cos\left(\frac{\pi}4\right)\iff x=\frac{\pi}{12}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\textrm{ ou } x=-\frac{5\pi}{12}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$

On sait que $\cos(2x)=2\cos^2 (x)-1$ et donc l'équation est équivalente à $$2\cos^2(x)+\cos(x)-1=0.$$ Posons $y=\cos x$ et déterminons les solutions de l'équation $2y^2+y-1=0$. Calculant le discriminant, on voit que les solutions de cette équation sont $y=-1$ et $y=1/2$. On en déduit donc que $\cos(2x)+\cos(x)=0$ si et seulement si $\cos(x)=-1$ ou $\cos(x)=1/2$. Puisque l'on cherche les solutions uniquement dans $[0,2\pi]$, l'ensemble des solutions est $\{\pi,\pi/3,5\pi/3\}$.

Pour ne pas se tromper en simplifiant par $\sin x$, on passe tout à gauche et on factorise : $$\tan(x)-2\sin(x)=\sin(x)\left(\frac{1}{\cos x}-2\right)=\sin(x)\frac{1-2\cos x}{\cos x}.$$ On conclut par un tableau de signes. On trouve donc que l'ensemble des solutions est $$\left]-\pi,-\frac\pi2\right[\cup \left[-\frac{\pi}3;0\right]\cup\left[\frac{\pi}3,\frac{\pi}2\right[\cup\{\pi\}.$$ Remarquons qu'on aurait pu simplement étudier le signe de $\sin(x)\frac{1-2\cos x}{\cos x}$ sur $[0,\pi]$ puis conclure par imparité de cette fonction.

On sait que $\ln(u)$ est défini uniquement si $u>0$. Donc $\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)$ est défini uniquement si $\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|$ est strictement positif. La valeur absolue d'un réel étant toujours positive ou nulle, la fonction $f$ est bien définie pour les réels $x$ tels que $$\sin\left(\frac\pi2 x\right)\neq 0.$$ Mais on a \begin{align*} \sin\left(\frac\pi2 x\right)=0&\iff \exists k\in\mathbb Z,\ \frac\pi2x=k\pi\\ &\iff \exists k\in\mathbb Z,\ x=2k. \end{align*} La fonction $f$ est donc bien définie pour tous les réels, sauf les entiers pairs : $\mathcal D_f=\mathbb R\backslash 2\mathbb Z$.
Pour déterminer la parité de $f$, remarquons déjà que son domaine de définition est symétrique par rapport à $0$, et donc que si $x\in\mathcal D_f$, alors $-x\in\mathcal D_f$. Soit donc $x\in\mathcal D_f$. Alors \begin{align*} f(-x)&=\ln\left(\left|\sin\left(-\frac\pi2 x\right)\right|\right) \\ &=\ln\left(\left|-\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\textrm{ (car la fonction $\sin$ est impaire)}\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right) \textrm{ (car la fonction $|\cdot|$ est paire)}\\ &=f(x). \end{align*} Ainsi, la fonction $f$ est paire.
De plus, on a \begin{align*} f(x+2)&=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 (x+2)\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x+\pi\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|-\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\\ &=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)\\ &=f(x) \end{align*} où on a utilisé que $\sin(t+\pi)=-\sin t$ et que $|-a|=|a|$. Ainsi, $f$ est périodique de période $2$.