$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices math sup : Trigonométrie

Valeurs des fonctions trigonométriques
Enoncé
Calculer les valeurs exactes des expressions suivantes : $$\cos\left(\frac{538\pi}{3}\right),\ \sin\left(\frac{123\pi}6\right),\ \tan\left(-\frac{77\pi}4\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Valeur de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la valeur de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\tan(\pi/8)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Cosinus, sinus et tangente en fonction de l'angle moitié [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in ]-\pi,\pi[+2\pi\mathbb Z$. On pose $t=\tan(x/2)$. Démontrer les formules suivantes : $$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2},\ \tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}.$$
Corrigé
Exercice 5 - Inégalité sur les sinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $|\sin(nx)|\leq n|\sin(x)|$.
Indication
Corrigé
Équations et inéquations trigonométriques
Exercice 6 - Équations trigonométriques - lecture du cercle trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes : $$ \begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\ \sin x=\frac 12&\displaystyle\quad\mathbf{2.}\ \tan x=\sqrt 3&\displaystyle\quad\mathbf{3.}\ \cos x=-1\\ \displaystyle\mathbf{4.}\ \sin(3x)=1&\quad\displaystyle\mathbf{5.}\ \cos(4x)=-2 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Équations trigonométriques simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ \sin(5x)=\sin\left(\frac{2\pi}3+x\right)& \quad \mathbf{2.}\ \cos\left(x+\frac\pi4\right)=\cos(2x)\\ \mathbf{3.}\ \tan\left(x+\frac\pi 4\right)=\tan(2x) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Équations trigonométriques - après formule de trigonométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \sin x\cos x=\frac 14. &\mathbf 2.\ \sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\\ \mathbf 3.\ \cos(3x)=\sin(x)&\mathbf 4. \tan x=2 \sin x.\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Équations trigonométriques plus difficiles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations trigonométriques suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf{1.}\ \cos x=\sqrt 3\sin(x)&\quad \mathbf{2.}\ \cos x+\sin x=1+\tan x. \end{array} $$
Corrigé
Exercice 10 - Equation du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ vérifiant $2\cos^2(x)+9\cos(x)+4=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $[0,2\pi]$, puis sur $[-\pi,\pi]$, puis sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sin(x)\geq 1/2&\quad&\mathbf{2.}\cos(x)\geq 1/2 \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Déterminer l'ensemble des couples $(x,y)$ vérifiant les conditions suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2\cos(x)+3\sin(y)&=&\sqrt 2-\frac 32\\ 4\cos(x)+\sin(y)&=&2\sqrt 2-\frac 12\\ x\in [-\pi;\pi],\ y\in [-\pi;\pi] \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \tan x\geq 1& \mathbf 2.\ \cos(x/3)\leq \sin(x/3)\\ \mathbf 3.\ 2\sin^2 x\leq 1& \mathbf 4.\ \cos^2x \geq \cos2x. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Équation trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $\sqrt 3\cos x-\sin x=m$ admet-elle des solutions? Les déterminer lorsque $m=\sqrt 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Trinôme du second degré? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $[0,2\pi]$ l'équation $\cos(2x)+\cos(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Inéquation plus subtile qu'il n'y parait [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'inéquation suivante : $\tan(x)\geq 2\sin(x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à déterminer tous les réels $t$ tels que $$\cos t=\frac{1+\sqrt 5}4.$$
  1. Démontrer qu'il existe une unique solution dans l'intervalle $]0,\pi/4[$. Dans la suite, on notera cette solution $t_0$.
  2. Calculer $\cos(2t_0)$, puis démontrer que $\cos(4t_0)=-\cos(t_0)$.
  3. En déduire $t_0$.
  4. Résoudre l'équation.
Indication
Corrigé
Fonctions trigonométriques
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\cos\left(\frac{3x}2-\frac{\pi}4\right).$$
  1. Déterminer une période $T$ de $f$.
  2. Déterminer en quels points $f$ atteint son maximum, son minimum, puis résoudre l'équation $f(x)=0$.
  3. Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-T,T]$.
  4. $f$ est-elle paire?
Corrigé
Exercice 19 - Domaine, parité et périodicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(\left|\sin\left(\frac\pi2 x\right)\right|\right)$. Quel est le domaine de définition de $f$? La fonction $f$ est-elle paire? impaire? périodique?
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\cos(3x)\cos^3x.$$
  1. Pour $x\in\mathbb R$, exprimer $f(-x)$ et $f(x+\pi)$ en fonction de $f(x)$. Sur quel intervalle $I$ peut-on se contenter d'étudier $f$?
  2. Vérifier que $f'(x)$ est du signe de $-\sin(4x)$, et on déduire le sens de variation de $f$ sur $I$.
  3. Tracer la courbe représentative de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=\frac{\sin x}{1+\sin x}.$$ On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$? Vérifier que $f$ est $2\pi$-périodique.
  2. Comparer $f(\pi-x)$ et $f(x)$. Que dire sur $\Gamma$?
  3. Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $\left]-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right]$, puis déterminer la limite de $f$ en $-\pi/2$.
  4. Construire $\Gamma$ à l'aide des renseignements précédents.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Étude d'une fonction trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$.
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$. Justifier que $f$ est dérivable sur son domaine de définition.
  2. Pour $x\in\mathbb R$, calculer $f(x+2\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en déduire sur la courbe représentative de $f$? En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $[0,\pi]$ pour construire toute la courbe représentative de $f$.
  3. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $$f'(x)=\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}.$$
  4. Étudier le signe de $1+2\cos x$ sur $[0,\pi]$.
  5. Établir le tableau de variations de $f$ sur $[0,\pi]$.
  6. Tracer la courbe représentative de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\cos(x)+\cos(\alpha x)$. On veut démontrer que $f$ est périodique si et seulement si $\alpha\in\mathbb Q$.
  1. On suppose que $\alpha=p/q\in\mathbb Q$. Démontrer que $f$ est périodique.
  2. On suppose que $\alpha\notin\mathbb Q$. Résoudre l'équation $f(x)=2$. En déduire que $f$ n'est pas périodique.
Indication
Corrigé