Math Sup : systèmes linéaires

On va utiliser la méthode du pivot de Gauss. Pour le premier système, on écrit \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ x+2y+z&=&1\\ 2x+y+z&=&0 \end{array}\right. &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ y-z&=&-2\quad L_2-L_1\to L_2\\ -y-3z&=&-6\quad L_3-2L_1\to L_3 \end{array}\right. \\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+2z&=&3\\ y-z&=&-2\\ -4z&=&-8\quad L_3+L_2\to L_3 \end{array}\right. \\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-1\\ y&=&0\\ z&=&2 \end{array}\right. \\ \end{eqnarray*} Pour le second système, on procède de la même façon : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ x-2y&=&1 \end{array}\right. &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ -2y-2z&=&0\quad\quad L_3-L_1\to L_3 \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+2z&=&1\\ -y+z&=&2\\ -4z&=&-4\quad\quad L_3-2L_2\to L_3 \end{array}\right. \\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&-1\\ y&=&-1\\ z&=&1 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Pour le premier système : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ 2x+y-z+t&=&-1 \end{array}\right. &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ -y-3z+7t&=&-3 \end{array}\right. \end{eqnarray*} Le système est triangulaire, et il y a plus d'inconnues que d'équations. On va donc exprimer certaines inconnues en fonctions des autres. Par exemple, ici, on peut exprimer $x$ et $y$ en fonction de $z$ et $t$. Le système devient : \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z-3t&=&1\\ -y-3z+7t&=&-3\\ z&=&z\\ t&=&t \end{array}\right. &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&2z-4t-2\\ y&=&-3z+7t+3\\ z&=&z\\ t&=&t \end{array}\right. \end{eqnarray*} L'ensemble des solutions est donc $$\mathcal S=\left\{(2z-4t-2,-3z+7t+3,z,t);\ (z,t)\in\mathbb R^2\right\}.$$ Pour le second système, on écrit \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ x+3y-z&=&11\\ 2x+5y-5z&=&13\\ x+4y+z&=&18 \end{array}\right. &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ y+2z&=&7\quad L_2-L_1\to L_2\\ y+z&=&5\quad L_3-2L_1\to L_3\\ 2y+4z&=&14\quad L_4-L_1\to L_4 \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y-3z&=&4\\ y+2z&=&7\\ -z&=&-2\quad L_3-L_2\to L_3\\ 0&=&0\quad L_4-2L_2\to L_4 \end{array}\right. \end{eqnarray*} La dernière équation, qui est une relation de compatibilité, est vérifiée. On en déduit alors facilement que l'ensemble des solutions est $$\mathcal S=\left\{(4,3,2)\right\}.$$

On applique la méthode du pivot de Gauss. En laissant inchangée la première ligne et en faisant $L_2-mL_1\to L_2$, le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+my&=&-3\\ (4-m^2)y&=&6+3m=3(m+2) \end{array}\right.$$ Discutons alors suivant les valeurs de $m$.

• Si $m\neq 2$ et $m\neq -2$, $4-m^2$ ne s'annule pas. On en déduit que $$y=\frac{3(m+2)}{4-m^2}=\frac{3(m+2)}{(2-m)(2+m)}=\frac{-3}{m-2}.$$ On reporte ceci dans la première équation et on trouve $$x=-3-my=-3+\frac{3m}{m-2}=\frac{-3m+6+3m}{m-2}=\frac 6{m-2}.$$ Le système admet donc une unique solution qui est $\left(\frac{6}{m-2},\frac {-3}{m-2}\right).$
• Si $m=2$, alors la dernière ligne devient $0=12$. Le système n'admet pas de solutions.
• Si $m=-2$, alors la dernière ligne devient $0=0$ et le système est équivalent à $$x-2y=-3\iff x=-3+2y.$$ L'ensemble des solutions est alors $$\mathcal S=\{(-3+2y,y);\ y\in\mathbb R\}.$$

Géométriquement, on peut en déduire que les deux droites $x+my=-3$ et $mx+4y=6$ sont

• sécantes si $m\neq 2,-2$;
• parallèles strictement si $m=2$;
• confondues si $m=-2$.

Notons $(S)$ ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss. En permutant la première et la deuxième ligne, puis en effectuant l'opération $L_2\leftarrow L_1-aL_1,$ on obtient successivement \begin{eqnarray*} (S)&\iff&\left\{ \begin{array}{rcll} x+ay&=&b\\ ax+y&=&b \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} x+ay&=&b\\ (1-a^2)y&=&b(1-a) \end{array}\right. \end{eqnarray*} On discute alors suivant les valeurs de $a$, en remarquant que $1-a^2=0\iff a\in\{-1,1\}$.

• Si $a\neq 1,-1,$ alors on peut diviser par $1-a^2$ et le système est équivalent à $$\left\{\begin{array}{rcl} x+ay&=&b\\ y&=&\frac{b}{1+a} \end{array}\right. \iff\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\frac{b}{1+a}\\ y&=&\frac b{1+a}. \end{array}\right. $$ L'ensemble des solutions est donc $\left\{\left(\frac{b}{1+a};\frac{b}{1+a}\right)\right\}$.
• Si $a=1,$ alors le système est équivalent à $$\left\{\begin{array}{rcl} x+y&=&b\\ 0&=&0 \end{array}\right. \iff x=b-y.$$ L'ensemble des solutions est donc $\left\{\left(b-y;y\right):\ y\in\mathbb R\right\}.$
• Si $a=-1,$ le système est équivalent à $$\left\{\begin{array}{rcl} x-y&=&b\\ 0&=&2b. \end{array}\right.$$ On doit encore discuter suivant les valeurs de $b$ :
  • Si $b\neq 0,$ la dernière ligne est incompatible et l'ensemble des solutions est l'ensemble vide.
  • Si $b=0,$ le système devient l'unique équation $x=y$, et l'ensemble des solutions est $\{(y;y):\ y\in\mathbb R\}.$

On résout le première système par la méthode du pivot de Gauss. En notant $(S)$ ce système, on a \begin{eqnarray*} (S)&\iff& \left\{ \begin{array}{rcll} x+5y+9z&=&180\\ -35y-76z&=&-1580&\quad L_2-9L_1\\ -41y-89z&=&-1850&\quad L_3-10L_1 \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{ \begin{array}{rcll} x+5y+9z&=&180\\ -35y-76z&=&-1580\\ z&=&30&\quad 35L_3-41L_2 \end{array}\right. \end{eqnarray*} On conclut alors facilement que le système admet une solution unique qui vaut (10,-20,30). La résolution de l'autre système est très semblable et donne pour solution unique (-66,69,-11). Deux systèmes très proches peuvent donc avoir des solutions très différentes. On dit que le système est mal conditionné.

Notons $(\mathcal S)$ le système. Alors \begin{eqnarray*} (\mathcal S) &\iff&\left\{ \begin{array}{ccccccl} x&+&y&-&z&=&1&\\ &-&2y&+&2z&=&-2&L_2\leftarrow L_2-3L_1\\ &-&3y&+&3z&=&m-1&L_3\leftarrow L_3-L_1\\ \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{ccccccl} x&+&y&-&z&=&1&\\ &&y&-&z&=&1&L_2\leftarrow L_2/-2\\ &-&3y&+&3z&=&m-1&L_3\\ \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{ccccccl} x&+&y&-&z&=&1&\\ &&y&-&z&=&1&\\ &&&&0&=&m+2&L_3\leftarrow L_3+3L_2\\ \end{array}\right. \end{eqnarray*} On peut alors discuter suivant les valeurs de $m$ :

• Si $m+2\neq 0$, c'est-à-dire si $m\neq -2$, le système n'admet pas de solutions.
• Si $m=-2$, alors le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&1+z \end{array}\right.$$ L'ensemble des solutions est alors $\{(0,z+1,z);\ z\in\mathbb R\}$.

On utilise la matrice augmentée du système \begin{align*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&m&0\\ 1&m&1&0\\ m&1&1&0 \end{array} \right)\\ \begin{array}{l} \\ L_2-L_1\to L_2\\ L_3-mL_1\to L_3 \end{array} \quad\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&m&0\\ 0&m-1&1-m&0\\ 0&1-m&1-m^2&0 \end{array}\right) \end{align*} On distingue alors le premier cas $m=1$. Les deux dernières lignes sont nulles et le système est équivalent à $$x+y+z=0.$$ L'ensemble des solutions est $\{(-y-z,y,z): y,z\in\mathbb R\}$. Lorsque $m\neq 1$, on peut multiplier la deuxième et la troisième ligne par $1/(m-1)$ et on trouve le système équivalent \begin{align*} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&m&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&-1&-m-1&0 \end{array} \right)\\ \begin{array}{l} \\ \\ L_3+L_2\to L_3 \end{array} \quad\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&m&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&-m-2&0 \end{array}\right) \end{align*} Si $m=-2$, le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y-2z&=&0\\ y-z&=&0 \end{array}\right.$$ dont l'ensemble des solutions est $\{(z,z,z):z\in\mathbb R\}$. Si $m\neq -2$ (et toujours $m\neq 1$), le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+mz&=&0\\ y-z&=&0\\ z&=&0 \end{array} \right.$$ dont l'unique solution est $(0,0,0)$.

Notons $(S)$ ce système, et appliquons la méthode du pivot de Gauss en choisissant la troisième ligne comme pivot : \begin{eqnarray*} (S)&\iff&\left\{ \begin{array}{rcll} x+y+z&=&1-a&\quad\quad L_3\\ y+z&=&0&\quad\quad L_2-aL_3\\ (1-2a)y+(1-2a)z&=&2a^2-a&\quad\quad L_1-aL_3 \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z&=&1-a\\ y+z&=&0\\ a(2a-1)&=&0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} On distingue alors plusieurs cas. Si $a\notin\{0,1/2\}$, le système n'est pas compatible et n'admet donc pas de solutions. Si $a=0$, le système est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z&=&1\\ y+z&=&0 \end{array}\right.$$ et donc l'ensemble des solutions est $\{(1,y,-y);\ y\in\mathbb R\}$. Si $a=1/2$, le système devient $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+z&=&1/2\\ y+z&=&0 \end{array}\right.$$ et donc l'ensemble des solutions est $\{(1/2,y,-y);\ y\in\mathbb R\}$.

On applique la méthode du pivot en notant $(S)$ le système initial : \begin{eqnarray*} (S) &\iff& \left\{\begin{array}{ccccccll} x &+& by &+& az &=& 1 &{L_1} \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 & {L_2 \leftarrow L_2-L_1} \cr && b(1-a)y &+& (1-a^2)z &=& 1-a & {L_3 \leftarrow L_3-aL_1} \cr \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{ccccccl} x &+& by &+& az &=& 1 \cr & & b(a-1)y &+& (1-a)z &=& b-1 \cr && && (2-a-a^2)z &=& b-a & L_3\leftarrow L_3+L_2 \end{array}\right. \end{eqnarray*} Nous allons maintenant discuter de l'existence des solutions. Remarquons d'abord que $2-a-a^2= -(a-1)(a+2)$. Donc si $a\neq 1$ et $a\neq -2$ alors $2-a-a^2\neq 0$ donc $z=\frac{a-b}{(a-1)(a+2)}$. On a donc trouvé la valeur de $z$. La deuxième ligne du système triangulaire est $b(a-1)y + (1-a)z = b-1$. Or, on sait déjà $a-1\neq 0$. Si $b\neq 0$ alors, en reportant la valeur de $z$ obtenue, on trouve la valeur $y= \frac{b-1 - (1-a)z}{b(a-1)}$. Puis avec la première ligne on en déduit aussi $x=1-by-az$. Donc si $a\neq 1$ et $a \neq -2$ et $b\neq 0$ alors il existe une unique solution $(x,y,z)$. Il faut maintenant s'occuper des cas particuliers.

• Si $a=1$ alors notre système triangulaire devient : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &+&z&=& 1 \cr & & & & 0 &=& b-1 \cr && && 0 &=& b-1 \cr \end{array}\right. $$ Si $b\neq 1$ il n'y a pas de solution. Si $a=1$ et $b=1$ alors il ne reste plus que l'équation $x+y+z=1$. On choisit par exemple $y,z$ comme paramètres, l'ensemble des solutions est $$\big\{(1-y-z,y,z) \mid y,z \in \mathbb R \big\}.$$
• Si $a=-2$ alors le système triangulaire devient : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& by &-& 2z &=& 1 \cr & & -3by &+& 3z &=& b-1 \cr && && 0 &=& b+2 \cr \end{array}\right. $$ Donc si $b\neq -2$ il n'y a pas de solution. Si $a=-2$ et $b=-2$ alors le système est $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &-& 2y &-& 2z &=& 1 \cr & & 2y &+& z &=& -1 \cr \end{array}\right. $$ Si l'on choisit $y$ comme paramètre alors il y a une infinité de solutions $$\big\{(-1-2y,y,-1-2y) \mid y \in \mathbb R \big\}.$$
• Enfin si $b=0$ alors la deuxième et troisième ligne du système triangulaire sont : $(1-a)z =-1 $ et $(2-a-a^2)z =-a$. Donc $z=\frac{-1}{1-a}=\frac{-a}{2-a-a^2}$ (le sous-cas $b=0$ et $a=1$ n'a pas de solution). Dans tous les cas il n'y a pas de solution.

Conclusion :

• Si $a\neq 1$ et $a\neq -2$ et $b\neq 0$, le système admet une unique solution.
• Si $a=1$ et $b\neq 1$ il n'y a pas de solution (le système n'est pas compatible).
• Si $a=1$ et $b=1$ il y a une infinité de solutions (qui forment un plan dans $\mathbb R^3$).
• Si $a=-2$ et $b\neq -2$ il n'y a pas de solution.
• Si $a=-2$ et $b=-2$ il y a une infinité de solutions (qui forment une droite dans $\mathbb R^3$).
• Si $b=0$ il n'y a pas de solution.

On pose $a=\ln x$, $b=\ln y$ et $c=\ln z$ et notons $(S)$ le système. La fonction logarithme étant injective, on a : \begin{eqnarray*} (S)&\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} 3a+2b+6c&=&0\\ 4a+5b+12c&=&\ln 2\\ 2a+2b+5c&=&\ln 3 \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} 3a+2b+6c&=&0\\ 7b+12c&=&3\ln 2\\ 2b+3c&=&3\ln 3 \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} 3a+2b+6c&=&0\\ 7b+12c&=&3\ln 2\\ -3c&=&21\ln 3-6\ln 2 \end{array}\right.\\ &\iff&\left\{ \begin{array}{rcl} a&=&-2\ln 2+6\ln 3\\ b&=&-3\ln 2+12\ln 3\\ c&=&2\ln 2-7\ln 3. \end{array}\right. \end{eqnarray*} Ceci donne finalement comme unique solution $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=&2^{-2}3^6\\ y&=&2^{-3}3^{12}\\ z&=&2^23^{-7}. \end{array}\right. $$

On va raisonner en termes d'affixes dans le plan complexe. Soient $a_1,\dots,a_n$ les affixes des milieux fixés. On cherche des points $M_1,\dots,M_n$ dont les affixes respectives $z_1,\dots,z_n$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} z_1+z_2&=&2a_1\\ z_2+z_3&=&2a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ z_{n-1}+z_n&=&2a_{n-1}\\ z_n+z_1&=&2a_n. \end{array} \right.$$ Le problème admet une solution si et seulement si le système admet une solution, et la solution du problème est unique si et seulement si la solution du système est unique. On doit donc résoudre ce système. Pour cela, effectuons l'opération $L_1-L_2+L_3+\dots+(-1)^{n-1} L_{n}\to L_1$. Le système est alors équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} (1+(-1)^{n-1})z_1&=&2(a_1-a_2+\dots+(-1)^{n-1}a_n)\\ z_2+z_3&=&2a_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ z_{n-1}+z_n&=&2a_{n-1}\\ z_n+z_1&=&2a_n. \end{array} \right.$$ On peut alors discuter suivant la parité de $n$.

• Si $n$ est impair, alors $1+(-1)^{n-1}=2$, la première ligne donne $z_1$ et en poursuivant à partir de la dernière ligne, on trouve que le système (et donc le problème) admet une unique solution.
• Si $n$ est pair, alors la première ligne est une relation de compatibilité $$a_1-a_2+\dots+(-1)^{n-1}a_n=0.$$ Si cette condition n'est pas remplie, le système n'admet pas de solutions. Si la condition est remplie, alors on peut choisir une inconnue comme paramètre et exprimer toutes les inconnues en fonction de celle-ci. Le système admet une infinité de solutions.