$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Suites de nombres réels et complexes

Suites convergentes ou divergentes
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\[0.1cm] \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}.&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{n^3+2^n}{n^2+3^n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\ln\left(2n^2-n\right)-\ln(3n+1)&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n},\ a,b\in ]0,+\infty[&& \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{\ln(n+e^n)}{n}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^2)}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}{n^2}&&\displaystyle \mathbf 2. u_n=e^{-\sqrt n}\ln(1+n+e^n)\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\sqrt n\ln\left(\frac{\sqrt n+1}{\sqrt n-1}\right) \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Quelle est la nature de la suite $u_n=\left(2\sin{\left(\frac{1}{n}\right)} + \frac{3}{4}\cos{n}\right)^n$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.
  1. Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
  2. En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
  3. Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
  4. Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Deux exemples avec des suites trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la suite $(x_n)$ définie par $x_n=\cos\left(\left(n+\frac1n\right)\pi\right)$ est divergente.
    1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $(3+\sqrt 5)^n+(3-\sqrt 5)^n$ est un entier pair.
    2. En déduire que la suite $\left(\sin\left(\left(3+\sqrt 5\right)^n\pi\right)\right)$ converge et déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une suite définie comme étant la racine d'un polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on considère le polynôme $P_n(X)=X^n+X^{n-1}+\dots+X-1$.
  1. Démontrer que $P_n$ possède une seule racine dans $\mathbb R_+$, que l'on note $u_n$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq\frac 12$.
  4. Soit $\rho\in ]1/2,1[$. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}P_n(\rho)>0$.
  5. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\frac 12$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\theta\in\mathbb R$ tel que $\theta$ n'est pas congru à 0 modulo $\pi$. On pose $u_n=\cos(n\theta)$ et $v_n=\sin(n\theta)$.
  1. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $(v_n)$ converge.
  2. En déduire que les deux suites sont divergentes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{\dots+\sqrt 1}}}$.
  1. Écrire une formule de récurrence liant $u_{n-1}$ et $u_n$.
  2. Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est bornée.
  3. Déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
Suites définies par une somme
Enoncé
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{k^2-1}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k+1}.$$
  2. En déduire la limite de la suite $$u_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}.$$
  3. Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite $$v_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k^2+3k+2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$ En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}$.
  1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{1}{(n+1)^2}\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$$
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\leq 2-\frac 1n$.
  4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose $$H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k.$$ Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$H_{2n}-H_n\geq\frac 12.$$ En déduire que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\alpha>0$ et $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha+k^\alpha}$.
  1. Démontrer que si $\alpha > 1$ alors $u_n \to 0$.
  2. Démontrer que si $\alpha<1$, alors $u_n\to+ \infty$.
  3. Démontrer que si $\alpha=1$, la suite est monotone et convergente.
  4. Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln (1 + x) \leq x \leq - \ln (1 - x)$ .
  5. En déduire que $u_n\to\ln 2$.
Indication
Corrigé
Suites adjacentes
Exercice 15 - Exemple de suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données ci-dessous forment des couples de suites adjacentes. $$ \begin{array}{ll} \mathbf{1.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}\textrm{ et }v_n=u_n+\frac 1n\\ \mathbf{2.}\quad \displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+n}\textrm{ et }v_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. Etudier les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. Quelle est la nature de $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$
  1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
  2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
  3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
  4. Écrire une fonction $\verb+approx(ecart)+$ sous Python qui renvoie un encadrement de $e$ avec une amplitude inférieure à ecart.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Un équivalent de $\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étant donné $n\in\mathbb N^*$, on pose $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k}-2\sqrt n\textrm{ et }v_n=\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}.$$
  1. Calculer $\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)$.
  2. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont monotones.
  3. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ avec $\ell\leq -1$.
  4. Quelle est la limite de $\frac{\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}}{2\sqrt n}$?
Indication
Corrigé
Suites récurrentes
Exercice 19 - Fonction croissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geq 0$.
  1. Étudier $f$ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites possible de $(u_n)$?
  2. On suppose $u_0\in[0,1/4]$. Montrer que $u_n\in[0,1/4]$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  3. On suppose $u_0\in[1/4;3/4]$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  4. On suppose $u_0>3/4$. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Fonction décroissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
  2. Soit $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
  3. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
  4. En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
  5. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Fonction décroissante et deux suites extraites qui ne convergent pas vers la même limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=(1-x)^2$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
  1. Démontrer que $[0,1]$ est stable par $f$. Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0,1]$?
  2. On pose $g=f\circ f$. Quel est le sens de variation de $g$ sur $[0,1]$?
  3. Résoudre l'équation $g(x)=x$.
  4. Pour $n\geq 0$, on pose $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$, de sorte que $v_{n+1}=g(v_n)$ et $w_{n+1}=g(w_n)$. Démontrer que $(v_n)$ est croissante, et déterminer sa limite. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante, et déterminer sa limite.
  5. Que peut-on en déduire sur la suite $(u_n)$?
Corrigé
Exercice 22 - Fonction croissante - sans indication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$;
  2. $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$. Que se passe-t-il si on choisit $u_0=2$?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Fonctions décroissantes - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les suites récurrentes suivantes :
  1. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=(1-u_n)^2$.
  2. $u_0=1/2$ et $u_{n+1}=\sqrt{1-u_n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la suite définie par $u_0\in\mathbb C$ et $u_{n+1}=\frac{1}5(3u_n-2\overline{u_n})$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner l'expression du terme général des suites récurrentes $(u_n)$ suivantes :
  1. $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$, $u_0=3$, $u_1=5$.
  2. $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$, $u_0=1$, $u_1=0$.
  3. $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$, $u_0=1$ et $u_1=2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(z_n)$ une suite définie par $z_0\in\mathbb C$ et la relation $$z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d},$$ où $a,b,c,d$ sont des complexes tels que $ad-bc\neq 0$ et $c\neq 0$. On suppose dans toute la suite que $z_0$ est choisi de sorte que la suite $(z_n)$ soit bien définie.
  1. Montrer que la fonction $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ admet un ou deux points fixes dans $\mathbb C$.
  2. On suppose que $f$ admet deux points fixes $\alpha$ et $\beta$ et on pose $$w_n=\frac{z_n-\alpha}{z_n-\beta}$$ (on suppose donc aussi que $z_n\neq\alpha$ et $z_n\neq\beta$ pour tout entier $n$). Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{1}{1-z_n}$.
  3. On suppose que $f$ admet un unique point fixe $\alpha$ et on pose $$w_n=\frac{1}{z_n-\alpha}.$$ Calculer la valeur de $\alpha$ et prouver que $$f(z)=z-\frac{c(z-\alpha)^2}{cz+d}.$$ Montrer ensuite que la suite $(w_n)$ est arithmétique. En déduire la nature de la suite définie par $z_0=i$ et $z_{n+1}=\frac{3z_n-1}{z_n+1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a\in\mathbb C$. A quelle condition la suite $u_{n+1}=a u_n^2$, avec $u_0\in\mathbb C$, converge-t-elle vers zéro?
Indication
Corrigé
Suites récurrentes croisées
Enoncé
Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites de nombres réels définies par $0<x_0<y_0$ et $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&\displaystyle \frac{x_n^2}{x_n+y_n}\\ y_{n+1}&=&\displaystyle \frac{y_n^2}{x_n+y_n} \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $(y_n-x_n)$ est une suite constante.
  2. En déduire que $(x_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que les deux suites sont convergentes, et calculer leur limite respective.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On définit :
  • leur moyenne arithmétique, notée $m$, par la relation $m=\frac{x+y}{2}$;
  • leur moyenne géométrique, notée $g$, par la relation $g=\sqrt{xy}$;
  • leur moyenne harmonique, notée $h$, par la relation $\frac 1h=\frac12\left(\frac 1x+\frac 1y\right)$.
  1. Montrer que $h\leq g\leq m$ et vérifier que $\sqrt{mh}=g$.
  2. On définit deux suites $u$ et $v$ par récurrence par la donnée de $u_0$ et $v_0$, avec $0<v_0\leq u_0$, et par les relations de récurrence suivante :
    • $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$;
    • $v_{n+1}$ est la moyenne harmonique de $u_n$ et $v_n$.
    1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $0<v_n\leq u_n$.
    2. Montrer que la suite $u$ est décroissante et que la suite $v$ est croissante.
    3. Montrer que les deux suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite notée $l$.
    4. Montrer que $l$ est la moyenne géométrique de $u_0$ et $v_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Moyenne arithmético-géométrique et suites adjacentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $0\leq b\leq a$ et $(u_n)$, $(v_n)$ les deux suites définies par $$u_0=a,\ v_0=b,\ u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2},\ v_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}.$$ On admettra que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien définies avec $u_n\geq 0$ et $v_n\geq 0$ pour tout entier $n.$
  1. Démontrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a $$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2.$$
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n\geq v_n$, $u_n\geq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\geq v_n$.
  3. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $0\leq u_{n+1}-v_{n+1}\leq \frac 12(u_n-v_n)$.
  4. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite. Cette limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et est notée $M(a,b)$.
  5. Écrire une fonction Python $\verb+moyenne(a,b,ecart)+$ qui donne un encadrement de $M(a,b)$, avec une amplitude inférieure ou égale à $\verb=ecart=$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 31 - Suite convergente à valeurs dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à valeurs dans $\mathbb Z$, convergente. Montrer, en utilisant la définition, que $(u_n)$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite convergente. La suite $(\lfloor u_n\rfloor)$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $$0\leq u_n\leq 1,\ 0\leq v_n\leq 1\textrm{ et }u_nv_n\to 1.$$ Que pouvez-vous dire des suites $(u_n)$ et $(v_n)$?
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Critère de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes réels strictement positifs telle que $\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ converge vers un réel $l$. Nécessairement, on a $l\geq 0$.
  1. On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
    1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
    2. En déduire que $(u_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose $l>1$. Démontrer que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  3. Étudier le cas $l=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Comparaison logarithmique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels strictement positifs, tels que, pour tout $n\geq 0$, on a $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
  1. On suppose que $(v_n)$ converge vers 0. Montrer que $(u_n)$ converge aussi vers 0.
  2. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Quelle est la nature de $(v_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.
  1. On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N^*$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
    1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
    2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
  3. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
  4. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $u$ et $v$. Montrer que la suite $\displaystyle w_n=\frac{u_0v_n+\dots+u_nv_0}{n+1}$ converge vers $uv$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels telle que, pour tout $(m,n)\in\mathbb N^2$, $$u_{m+n}\geq u_m+u_n.$$ On suppose que l'ensemble $\left\{\frac{u_n}n;\ n\in\mathbb N^*\right\}$ est majoré, et on note $\ell$ sa borne supérieure.
  1. Soit $m,q,r\in \mathbb N$. On pose $n=mq+r$. Comparer $u_n$ et $qu_m+u_r$.
  2. On fixe $m\in\mathbb N^*$ et $\veps>0$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n>N$, $$\frac{u_n}n\geq\frac{u_m}m-\veps.$$
  3. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}n=\ell$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
    1. On suppose que $(u_{n+1}-u_n)$ converge vers $\ell<0$. Démontrer qu'il existe $A<0$ et $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $u_{n+1}-u_n\leq A$. En déduire que $(u_n)$ n'est pas bornée.
    2. Démontrer de même que si $(u_{n+1}-u_n)$ tend vers $-\infty$, alors $(u_n)$ n'est pas bornée.
    3. Démontrer de même que si $(u_{n+1}-u_n)$ converge vers $\ell>0$, alors $(u_n)$ n'est pas bornée.
  1. Déduire des questions précédentes que si $(u_n)$ est une suite bornée telle que $(u_{n+1}-u_n)$ est décroissante, alors $(u_n)$ est convergente.
  2. Que peut-on dire si $(u_n)$ est une suite bornée telle que $(u_{n+1}-u_n)$ est croissante?
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Suites extraites - pour bien comprendre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite réelle.
  1. Parmi les suites ci-dessous, trouver celles qui sont extraites d'une autre : $$(u_{2n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{6n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3.2^n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{3.2^{n+1}})_{n\in\mathbb N}, (u_{2^n})_{n\in\mathbb N},\ (u_{2^{n+1}})_{n\in\mathbb N}.$$
  2. Soit $(u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb N}$ une suite extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb N}$. Montrer que toute suite extraite de $(u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbb N}$ est extraite de $(u_n)_{n\in\mathbb N}$.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Convergence des suites extraites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels.
  1. On suppose que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite. Prouver que $(u_n)$ est convergente.
  2. Donner un exemple de suite telle que $(u_{2n})$ converge, $(u_{2n+1})$ converge, mais $(u_{n})$ n'est pas convergente.
  3. On suppose que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ sont convergentes. Prouver que $(u_n)$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Suites extraites vérifiant certaines propriétes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
  1. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
  2. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
  3. On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle. On dit que le réel $l$ est valeur d'adhérence de la suite s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $l$.
  1. Quelles sont les valeurs d'adhérence d'une suite convergente?
  2. Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $(-1)^n$? de la suite $\cos(n\pi/3)$?
  3. Donner un exemple de suite qui ne converge pas et qui possède une unique valeur d'adhérence.
  4. Prouver que si $(u_n)$ est bornée et est divergente, elle admet toujours (au moins) deux valeurs d'adhérence distinctes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une suite $(u_n)$ de nombre réels est appelée suite de Cauchy si, pour tout $\veps>0$, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $p,q\geq N$, on a $$|u_p-u_q|<\veps.$$
  1. Montrer que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
  2. On souhaite prouver la réciproque à la question précédente. Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy.
    1. Montrer que $(u_n)$ est bornée.
    2. On suppose que $(u_n)$ admet une suite extraite convergente. Montrer que $(u_n)$ est convergente.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Suites de nombres réels ou complexes