$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices math sup : Calculs de primitives et techniques élémentaires de calcul intégral

Reconnaissance de formes
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes, sur un intervalle bien choisi : $$\begin{array}{lll} \displaystyle f_1(x)=5x^3-3x+7&\displaystyle f_2(x)=2\cos(x)-3\sin(x)&\displaystyle f_3(x)=10-3e^x+x\\ \displaystyle f_4(x)=\frac{5}{\sqrt x}+\frac 4x+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}&\displaystyle f_5(x)=\frac{x+5}{x^2}&\displaystyle f_6(x)=\frac{x^2}{5}+\frac 1{6}\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes sur un intervalle bien choisi : $$\begin{array}{lll} \displaystyle f_1(x)=e^{4x}&\displaystyle f_2(x)=e^{4x+3}& \displaystyle f_3(x)=\sin(2x)\\ \displaystyle f_4(x)=\cos\left(3x+\frac\pi 3\right)& \displaystyle f_5(x)=(2x+1)^2&\displaystyle f_6(x)=\frac{3}{\sqrt{5x+1}}. \end{array}$$
Corrigé
Exercice 3 - Reconnaissance de formes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lllll} \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}&\quad&\displaystyle g(x)=\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}&\quad& \displaystyle h(x)=\frac{\ln x}{x}\\ \displaystyle k(x)=\cos(x)\sin^2(x)&\quad&l(x)=\frac{1}{x\ln x}&\quad&m(x)=3x\sqrt{1+x^2}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Reconnaissance de formes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré : \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+2)^3},\ I=]-\infty,-2[\\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[. \end{array}
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Reconnaissance de forme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$ \int_0^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(3x)) \, \mathrm dx, \qquad \int_0^{\sqrt{\pi}}x\sin(x^2)\, \mathrm dx, \qquad \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, \mathrm dx. $$
Indication
Corrigé
Intégration par parties
Exercice 6 - Intégration par parties - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Intégration par parties - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\arctan(x)\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto (\ln x)^2\quad\quad\mathbf{3.} x\mapsto \sin(\ln x).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Intégration par parties - Niveau 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_1^2\frac{\ln(1+t)}{t^2}dt\quad \mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{3.}\quad K=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Primitive d'une puissance du logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, donner une primitive de $\ln^n x$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Une suite d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer $$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Une suite d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $(n,p)$ éléments de $\mathbb N^*\times\mathbb N$, on pose $$I_{n,p}=\int_0^1 x^n (\ln x)^p dx.$$ Calculer $I_{n,p}$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Intégration par parties itérée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $C^n$. Montrer que $$\int_{a}^b f^{(n)}g=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big(f^{(n-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-f^{(n-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^n \int_a^b fg^{(n)}.$$
  2. Application : On pose $Q_n(x)=(1-x^2)^n$ et $P_n(x)=Q_n^{(n)}(x)$. Justifier que $P_n$ est un polynôme de degré $n$, puis prouver que $\int_{-1}^1 QP_n=0$ pour tout polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n-1$.
Indication
Corrigé
Changements de variables
Exercice 13 - Changements de variables - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables demandé, calculer les intégrales suivantes :
  1. $\displaystyle \int_1^4\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
  2. $\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{\sin t}{1+\cos^2 t}dt$ en posant $x=\cos t$;
  3. $\displaystyle \int_1^e \frac{dt}{2t\ln (t)+t}$ en posant $x=\ln t$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables indiqué, calculer les intégrales suivantes :
  1. $\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{1+e^t}$ en posant $x=e^t$;
  2. $\displaystyle \int_1^3\frac{\sqrt t}{t+1}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
  3. $\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2}dt$ en posant $t=\sin\theta$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Double changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer $\displaystyle\int_1^2 \frac{2u}{\sqrt{1+u}}du$.
  2. En déduire $\displaystyle \int_0^{3}\frac{dt}{\sqrt{1+\sqrt{1+t}}}$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Fonction avec un axe de symétrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $f(a+b-x)=f(x)$. Montrer que $$\int_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}2\int_a^b f(x)dx.$$ En déduire la valeur de $I=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x }dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Changement de variables - Recherche de primitives - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables indiqué, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
  1. $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{\sqrt{1+x}}$, en posant $u=\sqrt{1+x}$;
  2. $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{e^x+1}$, en posant $u=e^x$;
  3. $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x+x(\ln x)^2}$, en posant $u=\ln x$.
Corrigé
Exercice 18 - Changements de variables - Recherche de primitives - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
  1. $\displaystyle x\mapsto \cos(2\ln x)$;
  2. $\displaystyle x\mapsto\cos(\sqrt x)$;
  3. $\displaystyle x\mapsto \frac{e^x}{(3+e^x)\sqrt{e^x-1}}$.
Indication
Corrigé
Fractions rationnelles
Exercice 19 - Intégrale d'une fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in\mathbb R\backslash\{-1\}$, $$\frac x{x+1}=a+\frac b{x+1}.$$
  2. En déduire la valeur de $\int_1^2 \frac{x}{x+1}dx.$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur }]-1,+\infty[ \\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur }]2,+\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur }]-1/2,1/3[ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{3x+2}{x^2+x+1}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{2x}{x^2-x+1}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{2x+1}{x^2+x-3} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Avec la fonction exponentielle
Exercice 24 - Exponentielle * Polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\int_{0}^2 (x+6)e^{2x}dx &\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^1 e^x(2x^3+3x^2-x+1)dx \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Exponentielle * trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.} \int_0^\pi e^x\sin(2x)dx&\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^{2\pi}e^{-x}\sin^2 xdx\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Exponentielle * polynôme * trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale : $$\int_0^\pi x^2e^x \cos xdx.$$
Indication
Corrigé
Intégrales trigonométriques
Exercice 27 - Puissances et produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf 1.\ x\mapsto\sin^5x\ \ \quad\mathbf2.\ x\mapsto\cos^4 x\sin^2 x\ \ \quad\mathbf3.\ x\mapsto \cos(3x)\cos^3x.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Démontrer par récurrence que si $m,n\in\mathbb N$ sont tels que $m>n$, on a $$\int_0^{\pi}\cos^n(x)\cos(mx)dx=0$$ - on pourra utiliser la formule de trigonométrie $$\cos a\cos b=\frac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big).$$
  2. En déduire que $$\int_0^\pi\cos^n(x)\cos(nx)dx=\frac{\pi}{2^n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une primitive de la fonction $\frac 1{\cos^6 x}$ sur l'intervalle $]-\pi/2,\pi/2[$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Intégrale trigonométrique - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(t)}{1+\cos^2 t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\quad\quad\mathbf{3.}\ \int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Intégrale trigonométrique - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\tan x}{\sqrt 2\cos x+2\sin^2 x}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{2+\sin x}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Intégrale trigonométrique - 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\displaystyle\mathbf{1.}\ \int_0^\pi \frac{1-\cos(x/3)}{\sin(x/2)}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x+\sin 2x}.$$
Indication
Corrigé
Calcul de primitives - Techniques fondamentales de calcul intégral