$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math sup : espaces préhilbertiens et euclidiens

Produit scalaire, orthogonalité
Exercice 1 - Produits scalaires sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur $\mathbb R^2$?
  1. $\varphi_1\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}$;
  2. $\varphi_2\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=4x_1y_1-x_2y_2$;
  3. $\varphi_3\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et soit $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts deux à deux. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\times\mathbb R_n[X]\to\mathbb R$ définie par $\varphi(P,Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Des exemples de produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé :
  1. $\langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$;
  2. $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R)$ où $w\in E$ est telle que $w(x)>0$ pour tout $x\in]a,b[.$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ et $b$ des réels et $\varphi:\mathbb R^2\to \mathbb R$ définie par $$\varphi\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=x_1y_1+4x_1y_2+bx_2y_1+ax_2y_2.$$ Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels $a$ et $b$ pour que $\varphi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Un produit scalaire sur les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1])$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, et soit $a=(a_n)$ une suite de $[0,1]$. On pose, pour $f,g\in E$, $$\phi(f,g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n).$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Inégalité de Cauchy-Schwarz et norme
Exercice 6 - Une première application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que pour tous $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R,$ $$\left(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{2^k}\right)^2\leq\frac 13\sum_{k=1}^n x_k^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Quand une inégalité en implique une autre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y,z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}.$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R$.
  1. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité.
  2. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1,\dots,n\}.$ Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\right)\geq n^2$$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 0,$ $$\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}\leq 2^{n/2}\sqrt{n+1}.$$
  2. En déduire la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Produit scalaire et théorème fondamental du calcul intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^1([a,b],\mathbb R)$ telle que $f(a)=0$.
  1. Démontrer que, pour tout $t\in [a,b],$ on a $$f^2(t)\leq (t-a)\int_a^t f'^2(u)du.$$
  2. En déduire que $$\int_a^b f^2(t)dt\leq \frac{(b-a)^2}2\int_a^b f'^2(u)du.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Un calcul de borne inférieure [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R_+^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte?
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Stricte convexité de la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x,y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in ]0,1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Approximation au sens des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et $x_1,\dots,x_p\in E$. Montrer que la fonction $f$ définie sur $E$ par $f(x)=\sum_{i=1}^p \|x-x_i\|^2$ atteint son minimum en $m=\frac 1p\sum_{i=1}^p x_i.$
Indication
Corrigé
Orthogonalité
Enoncé
$\mathbb R^4$ est muni de sa structure euclidienne canonique. On considère les sous-espaces $F$ et $G$ de $\mathbb R^4$ définis par : $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x-y+2z+t=0\textrm{ et }-x+2y+3z-t=0\}$$ $$G=\textrm{vect}\big((1,1,1,0),(2,1,1,-1)\big).$$ Déterminer une base de $F^\perp$ et de $G^\perp.$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Système d'équations de l'orthogonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
$\mathbb R^4$ est muni de sa structure euclidienne canonique. On considère le sous-espace $G$ de $\mathbb R^4$ défini par : $$G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y-z+t=0\textrm{ et }x+2y+3z+t=0\}.$$ Déterminer un système d'équations de $G^\perp.$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Une condition nécessaire et suffisante d'orthogonalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $x,y$ deux éléments de $E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+\lambda y\|\geq \|x\|$ pour tout $\lambda\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Relations usuelles sur les orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer les relations suivantes :
  1. $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$.
  2. $(A\cup B)^\perp=A^\perp\cap B^\perp$.
  3. $A^\perp=\textrm{vect}(A)^\perp$;
  4. $\textrm{vect}(A)\subset A^{\perp\perp}$.
  5. On suppose de plus que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $\textrm{vect}(A)= A^{\perp\perp}$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Orthogonal, somme et intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien $E$. Montrer que : $$(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp.$$ $$F^\perp+G^\perp\subset (F\cap G)^\perp.$$ Que se passe-t-il en dimension finie?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Pas de supplémentaire orthogonal! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $E=C([0,1],\mtr)$ muni du produit scalaire $(f,g)=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$ Soit $F=\{f\in E,\ f(0)=0\}$. Montrer que $F^\perp=\{0\}$. En déduire que $F$ n'admet pas de supplémentaire orthogonal.
Indication
Corrigé
Bases orthonormales
Exercice 20 - Orthonormalisation de Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt la base suivante : $$u=(1,0,1),\ v=(1,1,1),\ w=(-1,-1,0).$$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Base orthonormale d'un sous-espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
$\mathbb R^4$ est muni de sa structure euclidienne canonique. On considère le sous-espaces $F$ de $\mathbb R^4$ défini par : $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+z+t=0\textrm{ et }x-y+z=0\}.$$ Déterminer une base orthonormale de $F$.
Corrigé
Exercice 22 - Trouver une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$ muni du produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Une caractérisation des bases orthonormales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ de norme 1 tels que, pour tout $x\in E$, on a $$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$$ Démontrer que $E$ est de dimension $n$ et que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$.
  1. Question préliminaire : soient $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$. Démontrer que $\|u\|=\|v\|$.
  2. Démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
  3. On souhaite prouver que $f$ est une similitude si et seulement si $f$ est non-nulle et conserve l'orthogonalité : pour tout couple $(x,y)\in E$, si $x\perp y$, alors $f(x)\perp f(y)$.
    1. Prouver le sens direct.
    2. Réciproquement, on suppose que $f$ est non-nulle et préserve l'orthogonalité. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Projections orthogonales et calculs de distances
Exercice 25 - Projeté orthogonal dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique, on considère $F$ le sous-espace vectoriel défini par $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y+t=0\textrm{ et }x+y+2z-t=0\}.$$ Déterminer le projeté orthogonal de $u=(1,8,1,1)$ sur $F$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Projection orthogonale dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$. On considère $G$ le sous-espace vectoriel des quadruplets $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ de $E$ tels que $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\ x_3+x_4&=&0. \end{array} \right. $$
  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal B$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Calcul du projeté orthogonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1])$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$ Calculer le projeté orthogonal de $x^2$ sur $F=\textrm{vect}(1,x)$.
Corrigé
Exercice 28 - Distance à un hyperplan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, déterminer la distance de $u(3,4,3)$ au plan $\mathcal P$ d'équation $2x+y-z=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Projection dans un espace de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal M_2(\mathbb R)$ que l'on munit du produit scalaire $$\langle M,N\rangle=\textrm{Tr}(M^TN).$$ On pose $F=\left\{\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a \end{pmatrix};\ (a,b)\in\mathbb R^2\right\}.$
  1. Déterminer une base orthonormée de $F^\perp$.
  2. Calculer la projection de $J=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}$ sur $F^\perp$.
  3. Calculer la distance de $J$ à $F.$
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Base orthonormale, polynômes et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr_3[X]$ muni du produit scalaire suivant : $$(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ On pose $H$ l'hyperplan $H=\{P\in E;\ P(1)=0\}$.
  1. Déterminer une base de $H$.
  2. Déterminer une base orthonormale de $H$.
  3. En déduire la projection orthogonale de $X$ sur $H$, puis la distance de $X$ à $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E=\mathbb R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$, $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$$
  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{P\in E;\ \sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\}.$
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Distance à un sous-espace? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\displaystyle \inf_{a,b\in\mathbb R}\int_0^{2\pi} \big(t-a\cos(t)-b\sin(t)\big)^2 dt.$
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $p\leq n$. On munit $\mathbb R^n$ du produit scalaire canonique et on identifie $\mathbb R^n$ avec $\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$. On considère une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ de rang $p$ et $B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice $X_0$ de $\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)$ telle que $$\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)\}.$$
  2. Montrer que $X_0$ est l'unique solution de $$A^T AX=A^T B.$$
  3. Application : déterminer $$\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\mathbb R^2\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien. Pour $x_1,\dots,x_p$ des vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram la matrice de $\mathcal M_p(\mathbb R)$ définie par $(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$. On appelle déterminant de Gram des vecteurs $x_1,\dots,x_p$, et on note $G(x_1,\dots,x_p)$, le déterminant de cette matrice.
  1. Démontrer que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre si et seulement si $G(x_1,\dots,x_p)\neq 0$.
  2. On suppose désormais que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre, et on note $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_p)$. Soit également $x\in E$. Démontrer que $$d(x,F)^2=\frac{G(x,x_1,\dots,x_p)}{G(x_1,\dots,x_p)}.$$
Indication
Corrigé
Espaces préhilbertiens réels