Exercices math sup : Polynômes
Opérations sur les polynômes - Formule de Taylor
Enoncé
Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$
le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$?
Enoncé
Résoudre les équations suivantes, où l'inconnue est un polynôme $P$ de $\mathbb R[X]$ :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ P(X^2 ) = (X^2 + 1)P(X)&\quad&\mathbf{2.}\ P'^2=4P\\
\mathbf{3.}\ P\circ P=P.
\end{array}$$
Exercice 3 - Le polynôme dérivé divise le polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les polynômes $P$ de degré supérieur ou égal à 1 et tels que $P'|P$.
Division euclidienne
Enoncé
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de
- $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$;
- $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$;
- $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$.
Enoncé
Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a,b\in\mathbb K$ avec $a\neq b$.
- Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$.
- Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$, $a,b\in\mathbb R$, $a\neq b$. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)$ vaut 1 et que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-b$ vaut $-1$, que vaut le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$?
Enoncé
Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par
$$
\mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1?
$$
Enoncé
Démontrer que
- $X^{n+1}\cos\big((n-1)\theta\big)-X^n\cos(n\theta)-X\cos\theta+1$ est divisible par $X^2-2X\cos\theta+1$;
- $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ est divisible par $(X-1)^2$.
Enoncé
Soient $A,B,P\in\mathbb K[X]$ avec $P$ non-constant. On suppose que $A\circ P|B\circ P$.
Démontrer que $A|B$.
Enoncé
Soient $n$, $p$ deux entiers naturels non nuls et soit $P(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^k$
un polynôme de $\mathbb C[X]$. Pour chaque $k\in\{0,\dots,n\}$, on note $r_k$ le reste de la division euclidienne
de $k$ par $p$. Démontrer que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^p-1$ est le polynôme
$R(X)=\sum_{k=0}^n a_kX^{r_k}$.
Arithmétique
Enoncé
Déterminer les pgcd suivants :
- $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;
- $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;
- $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\geq 1$.
Enoncé
Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et
$B(X)=X^5-1$.
Enoncé
Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\mtc[X]$ non constants.
Montrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\in\mtc[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\deg(A)<\deg(Q)$, $\deg(B)<\deg(P)$.
Enoncé
Soient $n,m\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Racines
Enoncé
Quel est, pour $n\geq 1$, l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine du polynôme
$$P_n(X)=nX^{n+2}-(4n+1)X^{n+1}+4(n+1)X^n-4X^{n-1}?$$
Enoncé
Soit $n$ un nombre entier, $a$, $b$ des réels et $P(X)=\sum_{k=0}^n X^{k+2}+aX+b$. A quelle(s) condition(s) $P$ admet-il $1$ comme racine double.
Enoncé
Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynôme à coefficients dans $\mathbb Z$, avec
$a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$
avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$
admet-il des racines dans $\mathbb Q$?
Exercice 18 - Polynômes définis par certaines valeurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Déterminer un polynôme de degré $2$ tel que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$. Ce polynôme est -il unique?
- Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ tels que $P(-1)=1$, $P(0)=-1$ et $P(1)=-1$.
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$ et $P\in\mathbb C_n[X]$. On note, pour $p<n$, $u_p$ la somme des racines de $P^{(p)}$. Démontrer que
$u_0,\dots,u_{n-1}$ forme une progression arithmétique.
Exercice 20 - Déterminer les racines sachant que... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on souhaite déterminer toutes les racines de polynômes de degré 3 ou 4 connaissant des informations sur
ces racines.
- Soit $P(X)=X^3-8X^2+23X-28$. Déterminer les racines de $P$ sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
- Soit $Q(X)=X^4+12X-5$. On note $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines de $Q$. On sait que $x_1+x_2=2$.
- Déterminer la valeur de $x_1x_2$, $x_3x_4$ et $x_3+x_4$.
- En déduire les valeurs des racines.
Enoncé
Déterminer les racines du polynôme $8X^3-12X^2-2X+3$ sachant qu'elles sont en progression arithmétique.
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb R[X]$ de degré $n$ ayant $n$ racines réelles distinctes.
- Démontrer que toutes les racines de $P'$ sont réelles.
- En déduire que le polynôme $P^2+1$ n'admet que des racines simples (dans $\mathbb C$).
- Reprendre les questions si l'on suppose simplement que toutes les racines de $P$ sont réelles.
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C[X]$ de degré $n\geq 2$.
Soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $P$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $A_1,\dots,A_n$.
Soit $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ les racines de $P'$, répétées avec leur ordre de multiplicité, d'images respectives dans le plan complexe $B_1,\dots,B_{n-1}$.
- Montrer que les familles de points $(A_1,\dots,A_n)$ et $(B_1,\dots,B_{n-1})$ ont même isobarycentre.
- Quelle est l'image dans le plan complexe de la racine de $P^{(n-1)}$?
Enoncé
- Soit $P(X)=2X^3-X^2-7X+\lambda$, où $\lambda$ est tel que la somme de deux racines de $P$ vaut $1$. Déterminer la troisième racine. En déduire la valeur de $\lambda$.
- Soit $Q(X)=X^3-7X+\mu$ où $\mu$ est tel que l'une des racines de $Q$ soit le double d'une autre. Déterminer les valeurs possibles des racines de $Q$, puis déterminer les valeurs de $\mu$ pour lesquelles cette condition est possible.
Enoncé
Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(0)=0$ et $P(X^2+1)=\big(P(X)\big)^2+1$
Enoncé
- Soit $P\in\mathbb R[X]$ vérifiant $P(X^2)=P(X-1)P(X+1)$.
- Démontrer que si $z\in\mathbb C$ est racine de $P$, il existe une racine de $P$ de module supérieur strict à $|z|$.
- En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solutions.
- Soit $P\in\mathbb R[X]\backslash\{0\}$ vérifiant $P(X^2)=P(X)P(X-1)$.
- Démontrer que si $z\in\mathbb C$ est racine de $P$, alors $z=j$ ou $z=j^2$.
- En déduire les polynômes $P\in\mathbb R[X]$ solution.
Enoncé
Soit, pour $n\geq 0$, $P_n(X)=\sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.
- Démontrer que $P_n$ admet $n$ racines simples complexes.
- Démontrer que, si $n$ est impair, une et une seule de ces racines est réelle, et que si $n$ est pair, aucune des racines n'est réelle.
Exercice 28 - Polynômes à valeurs réelles, complexes, rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb C)\subset\mathbb R$.
- Déterminer tous les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P(\mathbb R)\subset\mathbb R$.
- Soit $P\in\mathbb C[X]$. Démontrer que $P(\mathbb Q)\subset\mathbb Q$ si et seulement si $P\in\mathbb Q[X]$.
Décomposition en produits d'irréductibles
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants :
$$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1
\end{array}$$
Enoncé
Soit $P$ le polynôme $X^4-6X^3+9X^2+9$.
- Décomposer $X^4-6X^3+9X^2$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb R[X]$.
- En déduire une décomposition de $P$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb C[X]$, puis dans $\mathbb R[X]$.
Enoncé
On considère les deux polynômes suivants :
$$P(X)=X^3-9X^2+26X-24\textrm{ et }Q(X)=X^3-7X^2+7X+15.$$
Décomposer ces deux polynômes en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, sachant qu'ils ont une racine commune.
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$ le polynôme
$P(X)=X^9+X^6+X^3+1$.
Enoncé
- Rappeler la décomposition en produits d'irréductibles de $X^n-1$.
- En déduire la décomposition en produits d'irréductibles de $1+X+\dots+X^{n-1}$.
- Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)$.
- Pour $\theta\in\mathbb R$, calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)$.
Exercice 34 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ non constant tel que $P(x)\geq 0$ pour tout réel $x$.
- Montrer que le coefficient dominant de $P$ est positif et que les racines réelles de $P$ sont de multiplicité paire.
- Montrer qu'il existe un polynôme $C\in\mathbb C[X]$ tel que $P=C\overline{C}$.
- En déduire qu'il existe $A$ et $B$ dans $\mathbb R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
Enoncé
On dit qu'un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ est réciproque s'il s'écrit $P=a_nX^n+\dots+a_0$ avec
$a_k=a_{n-k}$ pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$.
- Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si $P(X)=X^n P\left(\frac 1X\right)$.
- Montrer qu'un produit de polynômes réciproques est réciproque.
- On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q|P$. Démontrer que $\frac PQ$ est réciproque.
- Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme réciproque.
- Démontrer que si $\alpha$ est une racine de $P$, alors $\alpha\neq 0$ et $\alpha^{-1}$ est une racine de $P$.
- Démontrer que si $1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
- Démontrer que si le degré de $P$ est impair, alors $-1$ est racine de $P$.
- Démontrer que si $P$ est de degré pair et si $-1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
- Démontrer que tout polynôme réciproque de $\mathbb C[X]$ de degré $2n$ se factorise en $$P=a_{2n}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair?