$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Rudiments de logique

Quantificateurs
Enoncé
Déterminer parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies :
  1. 136 est un multiple de 17 et 2 divise 167.
  2. 136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167.
  3. $\exists x\in \mathbb R,\ (x+1=0\ \textrm{ et }x+2=0)$.
  4. $(\exists x\in\mathbb R,\ x+1=0)\textrm{ et }(\exists x\in\mathbb R,\ x+2=0)$.
  5. $\forall x\in\mathbb R,\ (x+1\neq 0\textrm{ ou }x+2\neq 0)$.
  6. $\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall y\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  7. $\forall y\in\mathbb R^*,\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  8. $\forall y\in\mathbb R^*,\forall z\in\mathbb R^*,\ \exists x\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  9. $\exists a\in\mathbb R,\ \forall \veps>0,\ |a|<\veps$;
  10. $\forall \veps>0,\ \exists a\in\mathbb R,\ |a|<\veps$.
Corrigé
Exercice 2 - Nier des assertions avec quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Nier les assertions suivantes :
  1. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\neq 0$.
  2. $\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\geq A,\ f(x)>M$.
  3. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)>0\implies x\leq 0$.
  4. $\forall \veps>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in I^2,\ \big(|x-y|\leq \eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\veps\big).$
Corrigé
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $C_n$ la courbe d'équation $y=(1+x)^n$ et $D_n$ la droite d'équation $y=1+nx$.
  1. Rappeler l'équation de la tangente à $C_n$ au point $A$ de $C_ n$ d'abscisse 0.
  2. Tracer (par exemple à l'aide d'un logiciel) $C_n$ et $D_n$ lorsque $n=2,3$.
  3. En vous aidant du graphique pour obtenir une conjecture, démontrer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
    1. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n\geq 1+nx$;
    2. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R_+,\ (1+x)^n \geq 1+nx$;
    3. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n =1+nx$;
    4. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \exists x\in\mathbb R,\ (1+x)^n=1+nx$;
    5. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R^*,\ (1+x)^n>1+nx$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Du texte aux quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :
  1. $f$ est constante;
  2. $f$ n'est pas constante;
  3. $f$ s'annule;
  4. $f$ est périodique.
Corrigé
Exercice 5 - Du quantificateur au texte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Énoncer en langage courant les assertions suivantes écrites à l'aide de quantificateurs. Peut-on trouver une fonction qui satisfait cette assertion? Qui ne la satisfait pas?
  1. $\forall x\in \mathbb R,\ \exists y\in \mathbb R,\ f(x)< f(y);$
  2. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R,\ f(x)=f(x+T);$
  3. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R^*,\ f(x)=f(x+T);$
  4. $\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ y=f(x).$
Corrigé
Exercice 6 - Limites de validité d'une proposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ pour lesquels l'assertion suivante est vraie : $$\forall y\in[0,1],\ x\geq y\implies x\geq 2y.$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une proposition sur les fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On considère la proposition $p$ suivante : $$p=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(x)<t).$$
  1. Écrire la négation de $p$.
  2. Donner un exemple de fonction $f$ qui vérifie $p$; un exemple qui ne vérifie pas $p$.
  3. Parmi les propositions ci-dessous, déterminer celles qui sont équivalentes à $p$, celles qui sont toujours vraies, celles qui sont toujours fausses, et celles pour lesquelles on ne peut rien dire.
    1. $p_1=(\exists x\in\mathbb R,\ \forall t\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
    2. $p_2=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
    3. $p_3=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(x)<t);$
    4. $p_4=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(t)<x).$
Corrigé
Raisonnement par l'absurde
Enoncé
On rappelle que $\sqrt 2$ est un nombre irrationnel.
  1. Démontrer que si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $a+b\sqrt 2=0$, alors $a=b=0$.
  2. En déduire que si $m,n,p$ et $q$ sont des entiers relatifs, alors $$m+n\sqrt 2=p+q\sqrt 2\iff (m=p\textrm{ et }n=q).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que si vous rangez $(n+1)$ paires de chaussettes dans $n$ tiroirs distincts, alors il y a au moins un tiroir contenant au moins $2$ paires de chaussettes.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Nombres dans un intervalle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier naturel. On se donne $n+1$ réels $x_0,x_1,\dots,x_n$ de $[0,1]$ vérifiant $0\leq x_0\leq x_1\leq\dots\leq x_n\leq 1$. On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante : il y a deux de ces réels dont la distance est inférieure ou égale à $1/n$.
  1. Ecrire à l'aide de quantificateurs et des valeurs $x_i-x_{i-1}$ une formule logique équivalente à la propriété.
  2. Ecrire la négation de cette formule logique.
  3. Rédiger une démonstration par l'absurde de la propriété (on pourra montrer que $x_n-x_0>1$).
  4. Donnez-en une preuve en utilisant le principe des tiroirs.
Corrigé
Raisonnement par contraposée
Exercice 11 - Somme de rationnels et d'irrationnels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la proposition suivante : si $a+b$ est irrationnel, alors $a$ ou $b$ sont irrationnels.
  1. Quelle est la contraposée de cette proposition?
  2. Démontrer la proposition.
  3. Est-ce que la réciproque de cette proposition est toujours vraie?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n$ un entier. Énoncer et démontrer la contraposée de la proposition suivante :
Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
A-t-on démontré la proposition initiale?
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété suivante, pour $n\in\mtn^*$ :
Si l'entier $(n^2-1)$ n'est pas divisible par 8, alors l'entier $n$ est pair.
  1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente.
  2. En remarquant qu'un entier impair $n$ s'écrit sous la forme $n=4k+r$ avec $k\in\mtn$ et $r\in\{1,3\}$ (à justifier), prouver la contraposée.
  3. A-t-on démontré la propriété de l'énoncé?
Corrigé
Raisonnement par récurrence
Exercice 14 - Pour se mettre en confiance... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $2^{n-1}\leq n!\leq n^n$.
Corrigé
Enoncé
Pour $n\in\mtn$, on considère la propriété suivante : $$P_n:\ 2^n>n^2.$$
  1. Montrer que l'implication $P_n\implies P_{n+1}$ est vraie pour $n\geq 3$.
  2. Pour quelles valeurs de $n$ la propriété $P_n$ est vraie?
Corrigé
Exercice 16 - Plusieurs paramètres? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ et pour tout réel $x>-1$, on a $(1+x)^n\geq 1+nx$.
  1. La récurrence porte-t-elle sur $n$? Sur $x$? Sur les deux?
  2. Énoncer l'hypothèse de récurrence.
  3. Vérifier que $(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$.
  4. Rédiger la démonstration.
Corrigé
Exercice 17 - Décomposition du nombre 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout entier $n\geq 3$, on peut trouver $n$ entiers strictement positifs $x_1,\dots,x_n$, deux à deux distincts, tels que $$\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}=1.$$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Une récurrence double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $u_0=2$, $u_1=3$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n}=1+2^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la suite $(u_n)$ (suite de Fibonacci) définie par $u_0=u_1=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$. Démontrer que la suite $(u_n)$ vérifie les propriétés suivantes :
  1. pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq n$;
  2. pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n u_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$.
Avez-vous utilisé une récurrence simple ou une récurrence double?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Une décomposition des entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que tout entier $n\in\mathbb N^*$ peut s'écrire de façon unique sous la forme $n=2^p(2q+1)$ où $(p,q)\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Une décomposition des entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que tout entier $n\geq 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de 2 toutes distinctes.
Indication
Corrigé
Raisonnement par disjonction de cas
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Produit de nombres qui ne sont pas divisibles par 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que le produit de deux nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 3 n'est pas divisible par 3.
  1. Soit $n$ un entier. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par $3$?
  2. En déduire que si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ s'écrit $3k+1$ ou $3k+2$, avec $k$ un entier. La réciproque est-elle vraie?
  3. Soit $n$ un entier s'écrivant $3k+1$ et $m$ un entier s'écrivant $3l+1$. Vérifier que $$n\times m=3(3kl+k+l)+1.$$ En déduire que $n\times m$ n'est pas divisible par $3$.
  4. Démontrer la propriété annoncée par l'exercice.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Reste dans la division par quatre d'une somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que si $n$ est la somme de deux carrés, alors le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 est toujours différent de $3$.
Indication
Corrigé
Raisonnement par analyse/synthèse
Exercice 25 - Une équation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{2-x}=x$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on souhaite déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant la relation suivante : \begin{equation} \forall x\in\mathbb R,\ f(x)+xf(1-x)=1+x. \end{equation}
  1. On considère $f$ une fonction satisfaisant la relation précédente. Que vaut $f(0)$? $f(1)$?
  2. Soit $x\in\mathbb R$. En substituant $x$ par $1-x$ dans la relation, déterminer $f(x)$.
  3. Quelles sont les fonctions $f$ solution du problème?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$f(x)\times f(y)-f(x\times y)=x+y.$$
Indication
Corrigé