Exercices math sup : intégrale d'une fonction continue sur un segment

Soient $m,n\in\mathbb Z^2$ avec $n\geq m$. Calculer $\int_m^n \lfloor x \rfloor dx$.
Calculer $\int_{-1}^2 x|x|dx$.
Calculer, pour tout $a\in\mathbb R$, $I(a)=\int_0^1 \min(x,a)dx$.

Exercice 2

- Retrouver la fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $|f(x)|\leq 1$ pour tout $x\in[a,b]$ et $\int_a^b f(x)dx=b-a$. Que dire de $f$?

Exercice 3

- Intégrale de $f$ et de $f^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer les fonctions continues $f:[0,1]\to [0,1]$ vérifiant $\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 f^2(t)dt$.

Exercice 4

- Égalité des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|=\int_a^b |f(t)|dt.$$ Montrer que $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$.

Exercice 5

- Changement de signes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$, $a<b$, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq n$, on a $\int_a^b t^k f(t)dt=0$. On souhaite prouver que, dans l'intervalle $[a,b]$, il existe au moins $n+1$ points où $f$ s'annule en changeant de signe.

Traiter le cas $n=0$.
Traiter le cas $n=1$.
Traiter le cas général.

Exercice 6

- Une fonction lipschitzienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que la fonction $\sin$ est lipschitzienne sur $\mathbb R$.
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue. Démontrer que la fonction $F:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$F(x)=\int_a^b f(t)\sin(xt)dt$$ est lipschitzienne.

Exercice 7

- Lemme de Riemann-Lebesgue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $\varphi$ une fonction en escalier sur $[a,b]$. On pose $$u_n=\int_a^b\varphi(x)\sin(nx)dx.$$ Montrer que $\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Montrer que cette propriété est conservée si $\varphi$ est continue par morceaux sur $[a,b]$.

Exercice 8

- Toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f= 0$.

Exercice 9

- Intégrale d'une fonction périodique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue périodique de période $T$. On souhaite démontrer que, pour tout $a\in\mathbb R$, on a $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$

Démontrer le résultat en introduisant la fonction $g(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt$.
Démontrer le résultat en introduisant un entier $n$ tel que $a\leq nT\leq a+T$ et en utilisant la relation de Chasles.

Exercice 10

- Dérivée périodique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est $T$-périodique. On suppose que $f(T)\neq f(0)$.

Montrer que pour tout $n\geq 1$, $f(nT)-f((n-1)T)=f(T)-f(0)$.
En déduire que $f$ n'est pas périodique.

Exercice 11

- Équation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifiant, pour tous $(x,y)\in\mathbb R^2$, $2yf(x)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt$.

Exercice 12

- Limites de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Calculer la limite des suites suivantes :

$\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
$\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
$\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
$\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.

Exercice 13

- Produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$

Exercice 14

- Somme presque harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=n}^{2n}\frac 1p$.

Exercice 15

- Inégalité de Jensen [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et convexe. Démontrer que $$g\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt \right)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b g(f(t))dt.$$

Exercice 16

- Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$

Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.

Exercice 17

- Un équivalent de $\ln(n!)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 18

- Série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On pose, pour $n\geq 1$, $$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$

Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?

Exercice 19

- Intégrales de Wallis - obtention d'un équivalent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $n\in\mathbb N$, on définit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$.

Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n xdx$.
Démontrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
Montrer que, pour tout $p\in\mathbb N$, $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$ et en déduire que $I_{n+1}\sim_{+\infty}I_n$.
Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.

Appliquons le changement de variables $u=\frac\pi2-t$. Alors $$\int_0^{\pi/2}\sin^n tdt=-\int_{\pi/2}^0 \sin^n\left(\frac \pi2-u\right)du= \int_0^{\pi/2}\cos^n (u)du.$$
Sur $[0,\pi/2]$, on a $0\leq \sin \leq 1$. Ceci entraine que, pour tout $t\in[0,\pi/2]$, on a $\sin^{n+1}(t)\leq \sin^n(t)$. Il suffit d'intégrer cette inégalité entre $0$ et $\pi/2$ pour obtenir le résultat.
On intègre par parties $I_{n+2}$ en écrivant $\sin^{n+2}t=\sin^{n+1} t\sin t$, en dérivant $\sin^{n+1} t$ et en intégrant $\sin t$. On obtient : $$I_{n+2}=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin^n t\cos^2tdt=(n+1)\int_0^{\pi/2} \sin^nt(1-\sin^2 t)dt.$$ Remettant ensembles tous les termes qui contiennent $I_{n+2}$, on obtient : $$(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n.$$
Remarquons par un petit calcul que $$I_0=\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_1=1.$$ On a : $$I_{2p}=\frac{2p-1}{2p}I_{2p-2}=\frac{(2p-1)(2p-3)}{2p(2p-2)}I_{2p-4}=\dots.$$ On obtient : $$I_{2p}=\frac{(2p-1)(2p-3)\times\dots\times 3\times 1}{2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2}I_0.$$ On complète les trous en haut en multipliant par $2p(2p-2)\dots 4\times 2$, et on obtient : $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{\big(2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2\big)^2}\frac{\pi}{2}.$$ Il reste à simplifier le dénominateur. On trouve : $$2p(2p-2)\times\dots\times 4\times 2=2^{p}p(p-1)\times 1=2^p p!.$$ On obtient finalement $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}.$$ On peut refaire le même type de calcul pour $I_{2p+1}$, ou utiliser l'astuce suivante. D'après la formule de récurrence : $$(2p+1)I_{2p+1}=(2p)I_{2p-1}.$$ On multiplie cette formule par $I_{2p}$ : $$(2p+1)I_{2p+1}I_{2p}=(2p)I_{2p}I_{2p-1}.$$ On réitère alors le procédé : $$(2p+1)I_{2p+1}I_{2p}=(2p)I_{2p}I_{2p-1}=(2p-1)I_{2p-1}I_{2p}=\dots=I_1I_0=\frac{\pi}{2}.$$ On en déduit : $$I_{2p+1}=\frac{1}{(2p+1)I_{2p}}\times \frac{\pi}{2},$$ ce qui donne : $$I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
La formule peut se trouver très facilement à partir des formules trouvées ci-dessus, en séparant les cas $n$ pair et $n$ impair. On peut aussi la démontrer directement en utilisant l'astuce employée pour calculer $I_{2p+1}$ à partir de $I_{2p}$.
On a déjà démontré que la suite $(I_n)$ est décroissante, ou encore, puisqu'elle est positive, que $\frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$. D'autre part, la formule de récurrence donne : $$I_{n+1}\geq I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n.$$ Divisant par $I_n$, on obtient l'autre inégalité demandée.
De $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$ et de l'inégalité précédente, on déduit : $$\frac{\pi}{2}\leq (n+1)I_n^2=\frac{\pi}{2}\frac{I_n}{I_{n+1}}\leq \frac{\pi}{2}\frac{n+2}{n+1}.$$ Il suffit ensuite de prendre la racine carrée de cette inégalité et de multiplier par $\displaystyle \sqrt{\frac{2}\pi}$ pour obtenir le résultat.

Exercice 20

- Suites d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2.\ u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$

Exercice 21

- Des limites de l'informatique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $n\geq 0$, on considère la suite $(I_n)$ définie par $$I_n=\int_0^1 e^x (1-x)^n dx.$$

Calculer $I_0$ puis démontrer que, pour tout $n\geq 0$, $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$.
Écrire sous Python une fonction permettant de calculer $I_n$ en utilisant la relation de récurrence obtenue précédemment. Exécuter cette fonction. Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de la suite $(I_n)$?
Démontrer que $(I_n)$ est une suite décroissante, puis qu'elle est convergente. Quelle est sa limite? Comparer avec votre conjecture.
Pour $a\in \mathbb R$, on définit une suite $(J_n)$ par $J_{n+1}=(n+1)J_n-1$ et $J_0=a$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $J_{n+1}-I_{n+1}=(n+1)(J_n-I_n)$.
En déduire, suivant la valeur de $a$, le comportement de la suite $(J_n)$.
Expliquer le phénomène conduisant à la conjecture formulée à la question 2.

On a $I_0=e-1$. Pour obtenir la relation de récurrence, on va faire une intégration par parties, en posant $u'(x)=\exp(x)$ et $v(x)=(1-x)^{n+1}$, de sorte que $u(x)=\exp(x)$ et $v'(x)=-(n+1)(1-x)^n$. On trouve \begin{align*} I_{n+1}&=\left[ e^x (1-x)^{n+1}\right]_0^1 +(n+1)\int_0^1 e^x (1-x)^n dx\\ &=(n+1)I_n-1. \end{align*}
En utilisant $I_0=e-1$, une fonction qui convient est la suivante :

from math import *

def suite(n):
    I=exp(1)-1;
    for k in range(n):
        I=(k+1)*I-1
    return I
L'utilisation de cet algorithme donne des valeurs décroissantes pour $I_n$, positives pour $n\leq 17$ et négatives pour $\geq 18$ (en particulier, $suite(18)\simeq -0.8702$). Si on continue, il semble que la suite tende vers $-\infty$, puisque $suite(100)\simeq -1.35\times 10^{142}$.
Soit $n\in\mathbb N$. Remarquons que, pour tout $x\in [0,1]$, on a $0\leq (1-x)\leq 1$, et donc $$0\leq (1-x)^{n+1}\leq (1-x)^n.$$ On multiplie par $e^x$ (qui est positif), puis on intègre entre $0$ et $1$ pour trouver $$0\leq I_{n+1}\leq I_n.$$ On vient donc de prouver que la suite $(I_n)$ est décroissante. De plus, elle est minorée par $0$. Elle est donc convergente. Notons $\ell$ sa limite, avec $\ell\geq 0$. On peut écrire aussi la relation $I_{n+1}=(n+1)I_n-1$ sous la forme $$\frac{I_{n+1}}{n+1}=I_n-\frac{1}{n+1}.$$ Passant à la limite dans cette égalité, on trouve que $\ell=0$. La conjecture est donc fausse!
Pour prouver que $\ell=0$, on pouvait aussi observer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$0\leq e^x(1-x)^n \leq e (1-x)^n$$ et donc $$0\leq I_n\leq \int_0^1 e (1-x)^n dx=\frac e{n+1}.$$ Par le théorème des gendarmes, $(I_n)$ tend vers $0$.
C'est immédiat! \[ J_{n+1}-I_{n+1}=(n+1)J_n-1-\big((n+1)I_n-1\big)=(n+1)\big(J_n-I_n\big). \]
Une récurrence rapide démontre que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$J_n-I_n=n! (J_0-I_0)=n! (a-e+1).$$ Puisque $(I_n)$ tend vers $0$, la suite $(J_n)$
- tend vers $0$ si $a=e-1$;
- tend vers $+\infty$ si $a>e-1$;
- tend vers $-\infty$ si $a<e-1$.
Python ne pouvait pas permettre de formuler une bonne conjecture. En effet, il ne connait pas la valeur exacte de $e$, mais seulement une valeur approchée. Et pour la formule de récurrence donnée, la seule suite qui tend vers $0$ est celle pour laquelle le premier terme vaut exactement $e$. Partant d'un mauvais premier terme (même si l'approximation est très bonne!), on a l'impression que la suite tend vers $-\infty$.

Exercice 22

- En découpant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On note, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$ Soit également $\alpha\in [0,1[$.

Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$

On remarque d'abord que, pour tout $x\in[0,1]$, on a $$\frac{1}{1+x^n}\leq 1.$$ Si on intègre cette inégalité entre 0 et 1, alors on trouve $$I_n\leq \int_0^1 dx=1.$$ D'autre part, soit $x\in [0,\alpha]$. Alors $1+x^n\leq 1+\alpha^n$ et donc $$\frac{1}{1+\alpha^n}\leq\frac{1}{1+x^n}.$$ On intègre cette inégalité entre $0$ et $\alpha$ et on trouve $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq \int_0^\alpha \frac{dx}{1+x^n}.$$ D'autre part, si $x\in[\alpha,1]$, alors $$\frac{1}{1+x^n}\geq 0\implies \int_{\alpha}^1 \frac{dx}{1+x^n}\geq 0.$$ En faisant la somme des deux inégalités précédemment obtenues, et en utilisant la relation de Chasles, on obtient $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n.$$
Soit $n\in\mathbb N$. Remarquons que, si $x\in[0,1]$, alors $$x^{n+1}\leq x^n.$$ Il vient $$\frac{1}{1+x^n}\leq\frac{1}{1+x^{n+1}}$$ et en intégrant cette inégalité, on trouve $$I_n\leq I_{n+1}.$$
La suite $(I_n)$ est croissante et majorée par 1. Elle converge vers un réel $\ell\leq 1$. Utilisons maintenant l'inégalité $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n.$$ En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ dans cette inégalité, on trouve $$\alpha\leq \ell.$$ On en déduit immédiatement que $\ell\geq 1$. En effet, si $\ell<1$, alors on peut choisir $\alpha\in ]\ell,1[$, et le résultat dit que $\alpha\leq \ell$ alors qu'on a choisi $\alpha>\ell$. C'est une contradiction et donc $\ell=1$.
Une autre façon de démontrer ce point est de dire que on peut faire tendre $\alpha$ vers 1 dans l'inégalité $\alpha\leq \ell$, et qu'en passant à la limite, $\alpha=1$.
Fixons $\alpha\in [0,\pi/2]$. On remarque cette fois que, pour tout $t\in \left[\alpha,\frac\pi 2\right]$, on a $$\sin(\alpha)\leq \sin(t)\implies -n\sin(\alpha)\geq -n\sin(t)$$ ce qui entraîne, puisque la fonction exponentielle est croissante, $$e^{-n\sin t}\leq e^{-n\sin\left(\alpha\right)}.$$ Sur l'intervalle $\left[0,\alpha\right],$ on majore la fonction à intégrer par 1. En découpant l'intégrale en 2, entre $\left[0,\alpha\right]$ et entre $\left[\alpha,\frac\pi2\right],$ on trouve alors que $$0\leq J_n\leq e^{-n\sin\left(\alpha\right)}\left(\frac\pi 2-\alpha\right)+\alpha\leq .$$ De plus, on vérifie que la suite $(J_n)$ est décroissante. Ainsi, elle est convergente et, passant à la limite dans l'égalité précédente, sa limite $\ell$ vérifie $$0\leq \ell\leq \alpha.$$ Finalement, en raisonnant exactement comme précédemment, on trouve $\ell=0$.

Exercice 23

- Cesaro pour les intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$

Exercice 24

- Étude d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$.

Quel est le domaine de définition de $f$? Est-elle paire, impaire?
Étudier les variations de $f$, puis l'existence de limites aux bornes de l'ensemble de définition.

Exercice 25

- Étude d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Pour $x>0$, on note $\varphi(x)=\frac {e^{-x}}x$ et $f(x)=\int_{x}^{2x}\varphi(t)dt$.

Justifier que $f$ est bien définie sur $]0,+\infty[$.
Exprimer $f$ en fonction d'une primitive $\phi$ de $\varphi$. En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
Étudier les variations de $f$ sur $]0,+\infty[$.
Établir que, pour tout $x>0$, $e^{-2x}\ln(2)\leq f(x)\leq e^{-x}\ln(2)$. En déduire la limite de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
On pose, pour $x\in ]0,1[$, $g(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$. Donner une relation entre $f$ et $g$, et en déduire la limite de $g$ en $1$.

Exercice 26

- Étude d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Étudier la fonction suivante sur $\mathbb R$ : $$f:x\mapsto\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt tdt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos \sqrt tdt.$$

Exercice 27

- Le logarithme intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Question préliminaire : Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Justifier que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
On définit, pour $x\in[0,1[$, $$f(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$

En utilisant la concavité du logarithme, démontrer que $$\forall x\in]0,1[,\ \forall t\in]x^2,1],\ \frac{2\ln x}{x^2-1}(t-1)\leq \ln t\leq t-1.$$
En déduire que $f$ se prolonge par continuité en 1.
Justifier que $f$ est dérivable sur $[0,1]$, et calculer sa dérivée.
En déduire la valeur de $I=\int_0^1\frac{(t-1)}{\ln t}dt$.

Pour la question préliminaire, fixons $a\in I$ et posons, pour $x\in I$, $H(x)=\int_a^x h(t)dt$. Puisque $h$ est continue, le théorème fondamental du calcul intégral nous dit que $H$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$, et que $H'=h$. Mais on a, par la relation de Chasles, pour tout $x\in J$, $$F(x)=\int_{u(x)}^a h(t)dt+\int_a^{v(x)}h(t)dt=H\circ v(x)-H\circ u(x).$$ Par composition, $F$ est dérivable sur $J$ et $$F'(x)=v'(x) h(v(x))-u'(x)h(u(x)).$$

La fonction logarithme est concave. Sa courbe représentative, entre les points d'abscisse $x^2$ et d'abscisse 1, est en dessous de la tangente en 1 et au dessus de la corde reliant $(x^2,\ln (x^2))$ à $(1,\ln 1)$. L'équation de la tangente est exactement $t\mapsto t-1$. Celle de la corde est $$t\mapsto \frac{\ln (x^2)-\ln 1}{x^2-1}(t-1).$$ On en déduit exactement le résultat demandé.
On va passer à l'inverse et intégrer cette inégalité. Il faut simplement prendre garde que $x^2\leq x$. On a donc, pour $x<1$ et $t\in[x^2,x]\subset[x^2,1]$, $$\frac{1}{t-1}\leq\frac{1}{\ln t}\leq\frac{x^2-1}{2\ln x}\times\frac{1}{t-1}.$$ On intègre, l'ordre des inégalités est changée car $x^2\leq x$, et on trouve $$\int_{x}^{x^2}\frac{x^2-1}{2\ln x}\times\frac{dt}{t-1}\leq f(x)\leq \int_{x}^{x^2}\frac{dt}{t-1}$$ soit $$\frac{x^2-1}{2\ln x}\big(\ln|x^2-1|-\ln|x-1|\big)\leq f(x)\leq \ln|x^2-1|-\ln|x-1|$$ soit, puisque $\ln|x^2-1|=\ln|x-1|+\ln(x+1)$, $$\frac{(x-1)}{\ln x}\times \frac{(x+1)\ln (x+1)}{2}\leq f(x)\leq \ln(x+1).$$ Il suffit de passer à la limite pour prouver que $f$ tend vers $\ln(2)$ lorsque $x$ tend vers 1. On peut donc prolonger $f$ par continuité en $1$, avec $f(1)=\ln(2)$.
Posons pour $x\in[0,1[$, $F(x)=\int_0^x \frac{1}{\ln t}dt$. $F$, comme primitive d'une fonction continue, est dérivable sur l'intervalle $[0,1[$. De plus, on a $f(x)=F(x^2)-F(x)$. Par composition, $f$ est elle-aussi dérivable sur $[0,1[$, et la question précédente a prouvé qu'elle était continue en $1$. De plus, sa dérivée vaut \begin{eqnarray*} f'(x)&=&2xF'(2x)-F'(x)\\ &=&\frac{2x}{\ln(x^2)}-\frac{1}{\ln x}\\ &=&\frac{x-1}{\ln x}. \end{eqnarray*} Ceci admet une limite lorsque $x$ tend vers 1 (à savoir 1). Par le théorème de prolongement d'une dérivée, $f$ est aussi dérivable en $1$ avec $f'(1)=1$.
Il suffit de remarquer que, puisque $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, $$I=\int_0^1 f'(t)dt=f(1)-f(0)=\ln 2.$$

Exercice 28

- Valeurs approchées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

1. Soit $a>0$. Démontrer que $$\left|\cos a-1+\frac{a^2}{2!}-\frac{a^4}{4!}\right|\leq \frac{a^5}{5!}.$$
2. En déduire que $$\frac{337}{384}-\frac{1}{3840}\leq\cos(1/2)\leq\frac{337}{384}+\frac{1}{3840}.$$
Soit $x$ un réel strictement positif. Démontrer que : $$\left|\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\right|\leq\frac{x^3}{3}.$$ En déduire une valeur approchée de $\ln(1,003)$ à $10^{-8}$ près.

Exercice 29

- Limite de suites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $(u_n)$ la suite définie par $$u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}.$$ Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\exp(1)$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1-\frac12+\frac13+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}.$$ Montrer que cette suite converge vers $\ln(2)$.

Exercice 30

- Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction définie sur $\mtr$, de classe $C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées, et l'on pose : $$M_0=\sup_{x\in\mtr}|f(x)|,\ \ M_2=\sup_{x\in\mtr}|f''(x)|$$ ($M_0$ et $M_2$ sont donc des nombres réels tels que, pour tout $x$ réel, on a $|f(x)|\leq M_0$ et $|f''(x)|\leq M_2$). Le but de cet exercice est de prouver que $f'$ est bornée, et de majorer $M_1=\sup_{x\in\mtr}|f'(x)|$ en fonction de $M_0$ et $M_2$. Soit $x\in\mtr$, et $h>0$.

Appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange à $f$ entre $x$ et $x+h$ à l'ordre $1$ (c'est-à-dire qu'on veut approcher $f(x+h)$ par le polynôme de Taylor de degré $1$ de $f$ en $x$).
En déduire l'inégalité : $$|f'(x)|\leq \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}.$$ En particulier, si on choisit $h=1$, on obtient $|f'(x)|\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}$ pour tout $x$ de $\mtr$, ce qui prouve que $f'$ est bornée, avec $M_1\leq 2M_0+\frac{M_2}{2}.$ On se propose de trouver une meilleure majoration :
Etudier la fonction $h\mapsto \frac{2M_0}{h}+\frac{hM_2}{2}$ sur $]0,+\infty[$.
En déduire $M_1\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$

Exercice 31

- Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$

Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.

Exercice 32

- Une égalité étrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $x\mapsto \ln(1+x^2)$, prouver que : $$\int_0^1\frac{(1+t)(1-t)^2}{(1+t^2)^2}dt=\frac{\ln 2}{2}.$$

Exercice 33

- Inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Démontrer que pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $$1-\frac x3+\frac{2x^2}9-\frac{14x^3}{81}\leq\frac1{\sqrt[3]{1+x}}\leq 1-\frac x3+\frac{2x^2}9.$$

Exercice 34

- Méthode du point médian [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$, $I_m=(b-a)f\left(\frac{a+b}2\right)$. On note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.

Soit $\Delta(x)=\int_{c-x}^{c+x}f(t)dt-2xf(c)$, où $c=\frac{a+b}2$. Montrer que $|\Delta''(x)|\leq 2xM_2$ pour tout $x\in[0,\frac{b-a}2]$. En déduire une majoration de $\Delta\left(\frac{b-a}{2}\right)$, puis que $$\left|I-I_m\right|\leq M_2 \frac{(b-a)^3}{24}.$$
Pour tout $n\geq 1$, on pose $I_{m,n}=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)$ où $x_k=a+k\frac{b-a}n$. Montrer que $$\left|\int_a^b f(x)dx-I_{m,n}\right|\leq\frac{(b-a)^3}{24n^2}M_2.$$

Exercice 35

- Méthode des trapèzes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb R$. On pose $I=\int_a^b f(t)dt$ et on note $M_2=\max\{|f''(x)|;\ x\in[a,b]\}$.

Montrer que $I=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}+\int_a^b \frac{(t-a)(t-b)}{2}f''(t)dt$.
Montrer que $\int_a^b \frac{(t-a)(b-t)}{2}dt=\frac{(b-a)^3}{12}$.
On fixe $n\geq 1$, et on pose $a_k=a+k\frac{b-a}{n}$. On note $I_n$ la valeur approchée de $I$ obtenue par la méthode des trapèzes avec $n$ intervalles. Exprimer $I_n$ en fonction des $a_k$, puis démontrer que $$|I-I_n|\leq\frac{M_2(b-a)^3}{12n^2}.$$