$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Groupes, anneaux, corps

Groupes
Enoncé
On définit, pour $(x,y)$ et $(x',y')$ dans $\mathbb R^*\times\mathbb R$, $$(x,y)\star (x',y')=(xx',xy'+y).$$
  1. Démontrer que $(\mathbb R^*\times \mathbb R,\star)$ est un groupe. Est-il commutatif?
  2. Simplifier $(x,y)^n$ pour tout $(x,y)\in\mathbb R^*\times\mathbb R$ et tout $n\in\mathbb N^*$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans les questions suivantes, déterminer si la partie $H$ est un sous-groupe du groupe $G$.
  1. $G=(\mathbb Z,+)$; $H=\{\textrm{nombres pairs}\}$.
  2. $G=(\mathbb Z,+)$; $H=\{\textrm{nombres impairs}\}$.
  3. $G=(\mathbb R,+)$; $H=[-1,+\infty[$.
  4. $G=(\mathbb R^*,\times)$; $H=\mathbb Q^*$.
  5. $G=(\{\textrm{bijections de $E$ dans $E$}\},\circ)$; $H=\{f\in G;\ f(x)=x\}$ où $E$ est un ensemble et $x\in E$.
  6. $G=(\{\textrm{bijections de $E$ dans $E$}\},\circ)$; $H=\{f\in G;\ f(x)=y\}$ où $E$ est un ensemble et $x,y\in E$ avec $x\neq y$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Quelques exemples de sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer pour chaque question que $H$ est un sous-groupe de $G$.
  1. $G=(\mathbb C^*,\times)$ et $H=\{z\in \mathbb C^*:\ \exists n\in\mathbb N,\ z^n=1\}.$
  2. $G=(\mathbb R^*,\times)$ et $H=\{a+b\sqrt 2:\ a,b\in\mathbb Q,\ (a,b)\neq (0,0)\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Quelques sous-groupes usuels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de $G$ :
  1. $C(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G, xy=yx\}$ ($C(G)$ s'appelle le centre de $G$);
  2. $aHa^{-1}=\{aha^{-1};\ h\in H\}$ où $a\in G$ et $H$ est un sous-groupe de $G$.
  3. On suppose de plus que $G$ est commutatif. On dit que $x$ est un élément de torsion de $G$ s'il existe $n\in\mathbb N^*$ tel que $x^n=e$. Démontrer que l'ensemble des éléments de torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Sous-groupe d'une courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $H=\{x+y\sqrt 3;\ x\in\mathbb N,\ y\in\mathbb Z,\ x^2-3y^2=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb R_+^*,\times)$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Sous-groupe engendré par une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, $G$ désigne un groupe.
  1. Soit $(H_i)_{i\in I}$ une famille quelconque de sous-groupes de $G$. Démontrer que $\bigcap_{i\in I}H_i$ est un sous-groupe de $G$.
  2. Soit $X$ une partie de $G$. On note $\langle X\rangle$ l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $X$. Démontrer que $\langle X\rangle$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $X$.
  3. Démontrer que $$\langle X\rangle=\left\{x_1^{\veps_1}\cdots x_n^{\veps_n}:\ n\in\mathbb N,\ x_i\in X, \veps_i=\pm 1\textrm{ pour }i=1,\dots,n\right\}$$ (avec la convention qu'un produit vide vaut $1_G$).
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Intersection de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H_1,H_2$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H_1\cap H_2$ est un sous-groupe de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Produit de groupe et sous-groupe du produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un sous-groupe d'un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Union de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$.
Corrigé
Exercice 10 - Produit de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$. On note $AB=\{ab;\ a\in A,\ b\in B\}$. Montrer que $AB$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $AB=BA$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Théorème de Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.
  1. Montrer que pour tout $a\in G$, $H$ et $aH=\{ah;\ h\in H\}$ ont le même nombre d'éléments.
  2. Soient $a,b\in G$. Démontrer que $aH=bH$ ou $aH\cap bH=\varnothing$.
  3. En déduire que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Des propriétés bien connues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le domaine de validité a volontairement été omis) :
  1. $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$;
  2. $|zz'|=|z||z'|$;
  3. $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$;
  4. $e^{x+y}=e^xe^y$;
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Exponentielle complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Justifier que $\exp$ est un morphisme de $(\mathbb C,+)$ dans $(\mathbb C^*,\cdot)$. Quel est son image? Son noyau?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Morphismes de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Morphismes que $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Morphisme entre groupes de torsion et groupes sans torsion [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans un groupe $(G,\cdot)$, un élément $x$ est dit de torsion s'il existe $n\geq 1$ tel que $x^n=e$. On dit que $G$ est de torsion si tous ses éléments sont de torsion. On dit que $G$ est sans torsion si son seul élément de torsion est l'élément neutre. Soit $G_1$ un groupe de torsion et $G_2$ un groupe sans torsion. Déterminer tous les morphismes de groupe de $G_1$ dans $G_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Groupes non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les groupes multiplicatifs $(\mathbb R^*,\cdot)$ et $(\mathbb C^*,\cdot)$ ne sont pas isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Groupes non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les groupes $(\mathbb R^*,\times)$ et $(\mathbb Q^*,\times)$ ne sont pas isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Automorphisme intérieur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour $a\in G$, on note $\tau_a:G\to G$ défini par $\tau_a(x)=axa^{-1}$.
  1. Démontrer que $\tau_a$ est un endomorphisme de $G$.
  2. Vérifier que, pour tous $a,b\in G$, $\tau_a\circ \tau_b=\tau_{ab}$.
  3. Montrer que $\tau_a$ est bijective et déterminer son inverse.
  4. En déduire que $\Theta=\{\tau_a;\ a\in G\}$ muni du produit de composition est un groupe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ un morphisme non constant d'un groupe fini $(G,\cdot)$ dans $(\mathbb C^*,\cdot)$. Calculer $\sum_{x\in G}f(x)$.
Indication
Corrigé
Anneaux
Enoncé
Soit $A$ l'ensemble des matrices s'écrivant $\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs.
  1. Démontrer que $A$ est un anneau pour les lois d'addition et de produits de matrices.
  2. Déterminer les éléments inversibles de $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle ensemble des entiers de Gauss noté $\mathbb Z[i]$ l'ensemble des nombres complexes qui s'écrivent $a+ib$, avec $a$ et $b\in\mathbb Z.$
  1. Démontrer que $\mathbb Z[i]$ est un anneau.
  2. Pour tout nombre complexe $z$, on note $N(z)=z\bar z.$
    1. Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, $N(z)N(z')=N(zz').$
    2. Démontrer que, pour tout entier de Gauss $z$, $N(z)$ est un entier naturel.
    3. Soit $z$ un entier de Gauss inversible. Déduire des questions précédentes que $N(z)=1$.
    4. Quels sont les éléments inversibles de $\mathbb Z[i]$?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,+)$ un groupe commutatif. On note $\textrm{End}(G)$ l'ensemble des endomorphismes de $G$ sur lequel on définit la loi $+$ par $f+g:G\to G,\ x\mapsto f(x)+g(x)$. Démontrer que $(\textrm{End}(G),+,\circ)$ est un anneau.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle A=\left\{\frac mn;\ m\in\mathbb Z,\ n\in 2\mathbb N+1\right\}$ (c'est-à-dire que $A$ est l'ensemble des rationnels à dénominateur impair). Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux, $$\mathbb D=\left\{\frac{n}{10^k};\ n\in\mathbb Z, k\in\mathbb N\right\}.$$ Démontrer que $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau. On appelle centre de $A$ et l'on note $C(A)$ l'ensemble des éléments $a\in A$ tels que, pour tout $b\in A$, $ab=ba.$ Démontrer que $C(A)$ est un sous-anneau de $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Anneau des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'anneau des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ est-il intègre?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $x^n=0$. On suppose que $A$ est commutatif, et on fixe $x,y$ deux éléments nilpotents.
  1. Montrer que $xy$ est nilpotent.
  2. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
  3. Montrer que $1_A-x$ est inversible.
  4. Dans cette question, on ne suppose plus que $A$ est commutatif. Soit $u,v\in A$ tels que $uv$ est nilpotent. Montrer que $vu$ est nilpotent.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un anneau $A$ est un anneau de Boole si, pour tout $x\in A$, $x^2=x$. On fixe $A$ un tel anneau.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in A$, $x=-x$.
  2. Montrer que $A$ est commutatif.
Indication
Corrigé
Corps
Enoncé
Montrer que $\mathbb Q(i)=\{a+ib:\ a,b\in\mathbb Q\}$ est un corps.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $d\in\mathbb N$ tel que $\sqrt d\notin \mathbb Q$. On note $$\mathbb Q[\sqrt d]=\{a+b\sqrt d;\ (a,b)\in\mathbb Q ^2\}.$$ Démontrer que $(\mathbb Q[\sqrt d],+,\times)$ est un corps.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\mathcal C=\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}:\ (a,b)\in\mathbb R^2\right\}.$
  1. Démontrer que $(\mathcal C,+\times)$ est un corps.
  2. Démontrer que $\mathcal C$ est isomorphe à $\mathbb C$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé