$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices math sup : Espaces vectoriels

Sous-espace vectoriel
Exercice 1 - Est-ce un sous-espace vectoriel? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels?
  1. $E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=0\}$;
  2. $E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=2\}$;
  3. $E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=2z=4t\}$;
  4. $E_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=0\}$;
  5. $E_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ y=x^2\}$;
  6. $E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$;
  7. $E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Est-ce un sous-espace vectoriel (matrices)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de $M_2(\mathbb R)$ :
  1. $E_1=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R):\ ad-bc=1\right\}$;
  2. $E_2=\left\{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \\ \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R):\ x_1 + x_2 = x_4\right\}$;
  3. $E_3=\left\{A\in M_2(\mathbb R):\ {}^tA=A\right\}$.
Corrigé
Exercice 3 - Est-ce un sous-espace vectoriel (bis)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels :
  1. $E_1=\{P\in\mathbb R[X];\ P(0)=P(2)\}$;
  2. $E_2=\{P\in\mathbb R[X];\ P'(0)=2\}$;
  3. Pour $A\in\mathbb R[X]$ non-nul fixé, $E_3=\{P\in\mathbb R[X]; A|P\}$;
  4. $\mathcal D$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont dérivables;
  5. $E_4$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=0$, où $a\in\mathcal D$.
  6. $E_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=x$, où $a\in\mathcal D$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Est-ce un sous-espace vectoriel? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Dire dans les cas suivants si la partie $V$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  1. $V$ est l'ensemble des fonctions bornées.
  2. $V$ est l'ensemble des fonctions majorées.
  3. $V$ est l'ensemble des fonctions paires.
  4. $V$ est l'ensemble des fonctions paires ou impaires.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Réunion de deux sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est encore un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
Indication
Corrigé
Combinaisons linéaires
Exercice 6 - Combinaisons linéaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
  1. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
  2. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
  3. $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
  4. $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Indication
Corrigé
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Combinaisons linéaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$?
  2. Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Dans un espace de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $e^{x^2}$, $e^{-x}$ et $\sin$?
Indication
Corrigé
Familles libres
Exercice 10 - Pour bien commencer... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
  1. $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
  2. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
  3. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
  4. $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Deux par deux, et par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
  1. Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
  2. La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
  1. $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
  2. $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
  3. $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
  4. $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - A partir d'une famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
  1. $(e_1,2e_2,e_3)$;
  2. $(e_1,e_3)$;
  3. $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
  4. $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1,\dots,u_n\in E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $v_k=u_1+\cdots+u_k$. Démontrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.
Indication
Corrigé
Sous-espace vectoriel engendré
Exercice 15 - D'un système générateur à un système d'équations... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un système d'équations des espaces vectoriels engendrés par les vecteurs suivants :
  1. $u_1=(1,2,3)$;
  2. $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$;
  3. $u_1=(1,2,0)$, $u_2=(2,1,0)$ et $u_3=(1,0,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - D'un système d'équations à un système générateur... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de $\mathbb R^3$:
  1. $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+2y-z=0\}$;
  2. $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\textrm{ et }2x-y-z=0\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Forme la plus adaptée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $F_1=\vect(u_1,u_2)$ où $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$. Déterminer $a,b,c$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\}. \]
  2. Soit $F_2=\vect(v_1)$ où $v_1=(7,4,1)$. Déterminer $a,b,c,a',b',c'$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\textrm{ et } a'x+b'x+c'z=0\}. \]
  3. Soit $F_3=\vect(v_2)$ où $v_2=(1,0,1)$. Déterminer $a,b,c,a',b',c'$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\textrm{ et } a'x+b'x+c'z=0\}. \]
  4. En utilisant la description la plus adaptée de chacun des sous-espaces vectoriels, répondre aux questions suivantes :
    1. A-t-on $F_2\subset F_1$? A-t-on $F_3\subset F_1$?
    2. A-t-on $F_1\cap F_2=\{0\}$? A-t-on $F_1\cap F_3=\{0\}$?
    3. Trouver une famille génératrice de $F_1+F_2$. Trouver une famille génératrice de $F_1+F_3$.
Corrigé
Exercice 18 - Coïncidence de sous-espaces [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans les exemples suivants, démontrer que les sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ sont égaux.
  1. $E=\mathbb R^3$, $u_1=(1,1,3)$, $u_2=(1,-1,-1)$, $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0)$, $F=\textrm{vect}(u_1,u_2)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,v_2)$.
  2. $E=\mathbb R^3$, $F=\textrm{vect}\big((2,3,-1),(1,-1,-2)\big)$ et $G=\textrm{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big)$.
  3. $E=\mathbb R^3$, $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+z=0\}$, $u_1=(1,1,-2)$, $u_2=(1,-4,3)$ et $G=\textrm{vect}(u_1,u_2)$.
  4. $E=\mathbb R^4$, $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x+y+z+t=0\textrm{ et }x-y+2z-2t=0\}$$ $$G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ 5x+y+7z-t=0\textrm{ et }x-3y+3z-5t=0\}.$$
Corrigé
Exercice 19 - Autour des sous-espaces engendrés, intersection et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les vecteurs de $\mathbb R^4$ suivants : \[ u_1=(0,1,-2,1),\quad u_2=(1,0,2,-1),\quad u_3=(3,2,2,-1),\quad u_4=(0,0,1,0). \] Dire, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
  1. $\vect(u_1,u_2,u_3)=\vect\big((1,1,0,0),(-1,1,-4,2)\big)$;
  2. $(1,1,0,0)\in\vect(u_1,u_2)\cap \vect(u_2,u_3,u_4)$;
  3. $\vect(u_1,u_2)+\vect(u_2,u_3,u_4)=\mathbb R^4$.
Indication
Corrigé
Sommes directes et sous-espaces supplémentaires
Enoncé
Pour chacun des sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $\mathbb R^3$ suivants, déterminer s'ils sont en somme directe.
  1. $F=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y+z=0\right\}$ et $G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z = 0 \\ x - 2y - z = 0 \\ \end{array}\right.\right\}$;
  2. $F=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+2z=0\right\}$ et $G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z = 0 \\ x - 2y - z = 0 \\ \end{array}\right.\right\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Un exemple d'espaces supplémentaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $E=\mathbb R^4$, on considère les sous-espaces vectoriels $F=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y+z+t=0\right\}$ et $G=\left\{(2a,-a,0,a),\text{ avec } a\in\mathbb R\right\}$.
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
  2. Soit $(x,y,z,t)\in\mathbb R^4$. Déterminer $a\in\mathbb R$ tel que le vecteur $(x-2a,y+a,z,t-a)\in F$.
  3. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Où sont les supplémentaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ les cinq vecteurs suivants : $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$. Dire si les sous-espaces vectoriels suivants sont supplémentaires dans $\mathbb R^4$.
  1. $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_3)$?
  2. $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_4,v_5)$?
  3. $\textrm{vect}(v_1,v_3,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_2,v_5)$?
  4. $\textrm{vect}(v_1,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_3,v_5)$?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Périodiques et tend vers 0 à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions périodiques de période 1 et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions $f$ telles que $\lim_{+\infty}f=0$. Démontrer que $F\cap G=\{0\}$. Est-ce que $F$ et $G$ sont supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles, $$F=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\}$$ $$G=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\}.$$ Démontrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E.$
Corrigé
Exercice 25 - Trouver un supplémentaire! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathbb R[X]$ un polynôme non constant et $F=\{P\in\mathbb R[X];\ A\textrm{ divise }P\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ et trouver un supplémentaire à $F$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Transformer une somme en somme directe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $F+G=E$. Soit $F'$ un supplémentaire de $F\cap G$ dans $F$. Montrer que $F'\oplus G=E$.
Corrigé
Exercice 27 - Fonctions paires / Fonctions impaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On note $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$) et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$). Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Un supplémentaire n'est jamais unique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit $F$ un sous-espace vectoriel propre de $E$ (c'est-à-dire que $F\neq \{0\}$ et que $F\neq E$). Démontrer que $F$ admet au moins deux supplémentaires distincts.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Fonctions qui s'annulent en un (plusieurs) point(s) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
  1. Soit $a\in\mathbb R$. On désigne par $F$ le sous-espace des fonctions constantes et par $G_a$ le sous-espace des fonctions qui s'annulent en $a$. Montrer que $F$ et $G_a$ sont supplémentaires dans $E$.
  2. Plus généralement, soient $a_0,\dots,a_N$ des éléments distincts deux à deux de $\mathbb R$ et $G=\{f\in E;\ f(a_0)=\dots=f(a_N)=0\}$. Trouver un supplémentaire à $G$.
Indication
Corrigé