Exercices math sup : Espaces vectoriels
Sous-espace vectoriel
Enoncé
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels?
- $E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=0\}$;
- $E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=2\}$;
- $E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=2z=4t\}$;
- $E_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=0\}$;
- $E_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ y=x^2\}$;
- $E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$;
- $E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$.
Exercice 2 - Est-ce un sous-espace vectoriel (matrices)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de $M_2(\mathbb R)$ :
- $E_1=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R):\ ad-bc=1\right\}$;
- $E_2=\left\{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \\ \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R):\ x_1 + x_2 = x_4\right\}$;
- $E_3=\left\{A\in M_2(\mathbb R):\ {}^tA=A\right\}$.
Exercice 3 - Est-ce un sous-espace vectoriel (bis)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels :
- $E_1=\{P\in\mathbb R[X];\ P(0)=P(2)\}$;
- $E_2=\{P\in\mathbb R[X];\ P'(0)=2\}$;
- Pour $A\in\mathbb R[X]$ non-nul fixé, $E_3=\{P\in\mathbb R[X]; A|P\}$;
- $\mathcal D$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont dérivables;
- $E_4$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=0$, où $a\in\mathcal D$.
- $E_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=x$, où $a\in\mathcal D$.
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Dire dans les cas suivants si la partie $V$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- $V$ est l'ensemble des fonctions bornées.
- $V$ est l'ensemble des fonctions majorées.
- $V$ est l'ensemble des fonctions paires.
- $V$ est l'ensemble des fonctions paires ou impaires.
Exercice 5 - Réunion de deux sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels
de $E$. Montrer que $F\cup G$ est encore un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si
$F\subset G$ ou $G\subset F$.
Combinaisons linéaires
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Enoncé
- Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$?
- Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?
Enoncé
Dans $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $e^{x^2}$, $e^{-x}$ et $\sin$?
Familles libres
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
- $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
- $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
- Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
- La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
- $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
- $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
- $(e_1,2e_2,e_3)$;
- $(e_1,e_3)$;
- $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
- $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1,\dots,u_n\in E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $v_k=u_1+\cdots+u_k$. Démontrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.
Sous-espace vectoriel engendré
Exercice 15 - D'un système générateur à un système d'équations... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un système d'équations des espaces vectoriels engendrés par les vecteurs suivants :
- $u_1=(1,2,3)$;
- $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$;
- $u_1=(1,2,0)$, $u_2=(2,1,0)$ et $u_3=(1,0,1)$.
Exercice 16 - D'un système d'équations à un système générateur... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de $\mathbb R^3$:
- $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+2y-z=0\}$;
- $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\textrm{ et }2x-y-z=0\}$.
Enoncé
- Soit $F_1=\vect(u_1,u_2)$ où $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$. Déterminer $a,b,c$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\}. \]
- Soit $F_2=\vect(v_1)$ où $v_1=(7,4,1)$. Déterminer $a,b,c,a',b',c'$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\textrm{ et } a'x+b'x+c'z=0\}. \]
- Soit $F_3=\vect(v_2)$ où $v_2=(1,0,1)$. Déterminer $a,b,c,a',b',c'$ dans $\mathbb R$ tels que \[ F_3=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ ax+by+cz=0\textrm{ et } a'x+b'x+c'z=0\}. \]
- En utilisant la description la plus adaptée de chacun des sous-espaces vectoriels, répondre aux questions suivantes :
- A-t-on $F_2\subset F_1$? A-t-on $F_3\subset F_1$?
- A-t-on $F_1\cap F_2=\{0\}$? A-t-on $F_1\cap F_3=\{0\}$?
- Trouver une famille génératrice de $F_1+F_2$. Trouver une famille génératrice de $F_1+F_3$.
Enoncé
Dans les exemples suivants, démontrer que les sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ sont égaux.
- $E=\mathbb R^3$, $u_1=(1,1,3)$, $u_2=(1,-1,-1)$, $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0)$, $F=\textrm{vect}(u_1,u_2)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,v_2)$.
- $E=\mathbb R^3$, $F=\textrm{vect}\big((2,3,-1),(1,-1,-2)\big)$ et $G=\textrm{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big)$.
- $E=\mathbb R^3$, $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+z=0\}$, $u_1=(1,1,-2)$, $u_2=(1,-4,3)$ et $G=\textrm{vect}(u_1,u_2)$.
- $E=\mathbb R^4$, $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x+y+z+t=0\textrm{ et }x-y+2z-2t=0\}$$ $$G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ 5x+y+7z-t=0\textrm{ et }x-3y+3z-5t=0\}.$$
Exercice 19 - Autour des sous-espaces engendrés, intersection et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les vecteurs de $\mathbb R^4$ suivants :
\[
u_1=(0,1,-2,1),\quad u_2=(1,0,2,-1),\quad u_3=(3,2,2,-1),\quad u_4=(0,0,1,0).
\]
Dire, en justifiant, si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
- $\vect(u_1,u_2,u_3)=\vect\big((1,1,0,0),(-1,1,-4,2)\big)$;
- $(1,1,0,0)\in\vect(u_1,u_2)\cap \vect(u_2,u_3,u_4)$;
- $\vect(u_1,u_2)+\vect(u_2,u_3,u_4)=\mathbb R^4$.
Sommes directes et sous-espaces supplémentaires
Enoncé
Pour chacun des sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $\mathbb R^3$ suivants, déterminer s'ils sont en somme directe.
- $F=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+2y+z=0\right\}$ et $G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z = 0 \\ x - 2y - z = 0 \\ \end{array}\right.\right\}$;
- $F=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+y+2z=0\right\}$ et $G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \left\{\begin{array}{l} 2x + y + 3z = 0 \\ x - 2y - z = 0 \\ \end{array}\right.\right\}$.
Exercice 21 - Un exemple d'espaces supplémentaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $E=\mathbb R^4$, on considère les sous-espaces vectoriels $F=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4:\ x+y+z+t=0\right\}$ et $G=\left\{(2a,-a,0,a),\text{ avec } a\in\mathbb R\right\}$.
- Démontrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.
- Soit $(x,y,z,t)\in\mathbb R^4$. Déterminer $a\in\mathbb R$ tel que le vecteur $(x-2a,y+a,z,t-a)\in F$.
- En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ les cinq vecteurs suivants : $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$. Dire si les sous-espaces vectoriels suivants sont supplémentaires dans $\mathbb R^4$.
- $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_3)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_4,v_5)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_3,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_2,v_5)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_3,v_5)$?
Exercice 23 - Périodiques et tend vers 0 à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions périodiques de période 1 et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions $f$ telles que $\lim_{+\infty}f=0$. Démontrer que $F\cap G=\{0\}$. Est-ce que $F$ et $G$ sont supplémentaires?
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles,
$$F=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\}$$
$$G=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\}.$$
Démontrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E.$
Enoncé
Soit $A\in\mathbb R[X]$ un polynôme non constant et $F=\{P\in\mathbb R[X];\ A\textrm{ divise }P\}$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ et trouver un supplémentaire à $F$.
Exercice 26 - Transformer une somme en somme directe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que
$F+G=E$. Soit $F'$ un supplémentaire de $F\cap G$ dans $F$. Montrer que
$F'\oplus G=E$.
Exercice 27 - Fonctions paires / Fonctions impaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
On note $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$)
et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$).
Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Exercice 28 - Un supplémentaire n'est jamais unique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit $F$ un sous-espace vectoriel propre de $E$ (c'est-à-dire que $F\neq \{0\}$ et que $F\neq E$). Démontrer que $F$ admet au moins deux supplémentaires distincts.
Exercice 29 - Fonctions qui s'annulent en un (plusieurs) point(s) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
- Soit $a\in\mathbb R$. On désigne par $F$ le sous-espace des fonctions constantes et par $G_a$ le sous-espace des fonctions qui s'annulent en $a$. Montrer que $F$ et $G_a$ sont supplémentaires dans $E$.
- Plus généralement, soient $a_0,\dots,a_N$ des éléments distincts de $\mathbb R$ et $G=\{f\in E;\ f(a_0)=\dots=f(a_N)=0\}$. Trouver un supplémentaire à $G$.