$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices math sup : Équations différentielles linéaires

Résolution d'équations différentielles linéaire du premier ordre
Exercice 1 - Problème de Cauchy (premier ordre à coefficients constants) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer la solution de $y'+2y=-4$, $y(1)=-3$.
  2. Déterminer la solution de $2y'-3y=9$, $y(-1)=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
  2. $y'+2y=x^2-2x+3$;
  3. $y'+y=xe^{-x}$;
  4. $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Premier ordre avec second membre simple [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+x^2y=-x^2$ sur $\mathbb R$;
  2. $2xy'-y=x$ sur $\mathbb R_+^*$;
  3. $y'-\frac{x}{1+x^2}y=\frac{1}{1+x^2}$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
  2. $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
  3. $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
  4. $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
  5. $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Enoncé
Donner une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions de la forme $$x\mapsto \frac{C+x}{1+x^2},\ C\in\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - De drôles de conditions initiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).$$
  2. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=\int_0^1 f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Résolution d'équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Exercice 8 - Équations du second ordre à coefficients constants - sans second membre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-2y'-3y=0.$
  2. $y''-2y'+y=0.$
  3. $y''-2y'+5y=0.$
Corrigé
Exercice 9 - Équations du second ordre à coefficients constants - second membre polynômial [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-3y'+2y=1$;
  2. $y''-2y'+y=x$, $y(0)=y'(0)=0$;
  3. $y''+9y=x+1$, $y(0)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Équations du second ordre à coefficients constants - second membre exponentiel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-y=e^{2x}-e^x$;
  2. $y''+y'+y=\cos(x)$;
  3. $y''-2y'+y=\sin^2 x$;
  4. $y''+y'+y=e^x\cos(x)$.
Corrigé
Exercice 11 - Équations du second ordre à coefficients constants - second membre exponentiel*polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^{-x}$;
  2. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^x$;
  3. $y''-2y'+y=(x^2+1)e^x+e^{3x}$;
  4. $y''-4y'+3y=x^2e^x+xe^{2x}\cos x$;
  5. $y''-2y'+5y=-4e^{-x}\cos(x)+7e^{-x}\sin x-4e^x\sin(2x)$;
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une équation différentielle vérifiée par la famille de fonctions $$y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{-x},\ C_1,C_2\in\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
D'autres équations différentielles
Exercice 13 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe $(Oz)$ est régi par un système différentiel de la forme $$\left\{ \begin{array}{rcl} x''&=&\omega y'\\ y''&=&-\omega x'\\ z''&=&0 \end{array}\right.$$ où $\omega$ dépend de la masse et de la charge de la particule, ainsi que du champ magnétique. En posant $u=x'+iy'$, résoudre ce système différentiel.
Corrigé
Exercice 14 - Un système différentiel qui se ramène à une équation du second ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $y,z:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et qui vérifient le système suivant : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} y'-y&=&z\\ z'+z&=&3y \end{array} \right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à résoudre sur $\mathbb R_+^*$ l’équation différentielle : $$x^2y"−3xy'+4y = 0.\ (E)$$
  1. Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
  2. Analyse. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R_+^*$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $z(t)=y(e^t)$.
    1. Calculer pour $t\in\mathbb R$, $z'(t)$ et $z''(t)$.
    2. En déduire que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser $x = e^t$ dans $(E)$).
    3. Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
    4. En déduire le ”portrait robot” de $y$.
  3. Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes les solutions de (E) et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Changement de fonction inconnue - et on retrouve des coefficients constants... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations différentielles suivantes :
  1. $(1+e^x)y''+2e^x y'+(2e^x+1)y=xe^x$ en posant $z(x)=(1+e^x)y(x)$;
  2. $xy''+2(x+1)y'+(x+2)y=0$, en posant $z=xy$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 3. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E_1)$ l'équation différentielle $y^{(3)}=y$.
  1. Soit $f$ une solution à valeurs complexes de $(E_1)$. On pose $g=f+f'+f''$. Déterminer une équation différentielle $(E_2)$ du premier ordre vérifiée par $g$.
  2. Résoudre $(E_2)$.
  3. Résoudre $(E_1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Presqu'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonction $f:\mathbb R\to \mathbb R$ de classe $C^1$ et vérifiant pour tout $x\in\mathbb R$, $$f'(x)+f(-x)=e^x.$$
Indication
Corrigé
Applications
Enoncé
Le taux d'alcoolémie $f(t)$ (en $\mathrm g\!\cdot\! \mathrm L^{-1}$) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie l'équation différentielle $y'(t)+y(t)=ae^{-t}$, où $t\geq 0$ est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures) et $a$ est une constante qui dépend de la quantité d'alcool ingérée et de la personne.
  1. Exprimer $f$ en fonction de $t$ et de $a$.
  2. On fixe $a=5$. Étudier les variations de $f$ et tracer sa courbe. Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
  3. Donner une valeur du délai $T$ (à l'heure près par excès) au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieur à $0,5\,\mathrm g\!\cdot\! \mathrm L^{-1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
La variation de la température $\theta$ d'un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : \begin{equation} \theta'(t)=\lambda(\theta_a-\theta(t)), \end{equation} où $\theta_a$ est la température ambiante, $\lambda$ est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales et $t$ est le temps, donné en minutes.
  1. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle en fonction des paramètres $\lambda$ et $\theta_a$.
  2. Un verre d'eau, à $10°\mathrm C$, est sorti du réfrigérateur et déposé sur une table dans une pièce où il fait $31°\mathrm C$. Après $10$ minutes, l'eau dans le verre est à $17°\mathrm C$.
    Quel est le temps après la sortie du réfrigérateur pour que l'eau soit à $25°\mathrm C$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver les courbes d'équation $y=f(x)$, avec $f$ de classe $C^1$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ vérifiant la propriété géométrique suivante : si $M$ est un point quelconque de la courbe, $T$ l'intersection de la tangente à la courbe en $M$ avec l'axe $(Ox)$, et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$, alors $O$ est le milieu de $[PT]$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Le vecteur sous-tangent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas. Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ au point $M$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$, $$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On souhaite étudier la suspension d'une remorque. Le centre d'inertie $G$ de la remorque se déplace sur un axe vertical $(Ox)$ dirigé vers le bas (unité : le mètre); il est repéré par son abscisse $x(t)$ en fonction du temps $t$ exprimé en secondes. On suppose que cette remorque à vide peut être assimilée à une masse $M$ reposant sans frottement sur un ressort.
L'abscisse $x(t)$ est alors, à tout instant $t$, solution de l'équation \begin{equation} M\, x''(t) + k\, x(t) = 0, \end{equation} où $k$ désigne la raideur du ressort. On prendra $M = 250\, \mathrm{kg}$ et $k = 6 250 \, \mathrm{N.m}^{-1}$.
  1. Déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant les deux conditions initiales $x(0) = 0\, \mathrm{m}$ et $x'(0) = -0,1\, \mathrm{m.s}^{-1}$.
  2. Préciser la période de cette solution.
Corrigé
Enoncé
Un objet de masse $m$ est fixé à un ressort horizontal immergé dans un fluide (caractérisé par sa constante de raideur $k$ et un coefficient d'amortissement $c$). On note $x(t)$ la position (horizontale) de l'objet par rapport à la position d'équilibre en fonction du temps $t$.
L'équation différentielle satisfaite par la fonction $x(t)$ est alors $$mx'' + c x' + k x = 0.$$ On considère ici que $m=2$, $c=2$ et $k=5$.
  1. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.
  2. On suppose qu'au temps $t=0$ on a $x(0)=2$ et $ x' (0)=3\sqrt{3}-1$.
  3. Quelle est la limite de $x(t)$ quand $t\to +\infty$ ?
  4. Déterminer le plus petit temps $t_0>0$ tel que $x(t_0)=0$.
Indication
Corrigé
Quelques études qualitatives
Exercice 26 - Tangentes aux courbes intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'équation $y'=a(x)y+b(x)$, avec $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ continues, et soit $x_0\in\mathbb R$. Montrer que les tangentes au point d'abscisse $x_0$ aux courbes représentatives des solutions de cette équation sont ou bien parallèles ou bien concourantes.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Toucher mais pas traverser! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la (les) valeurs de $y_0$ pour que la courbe représentative de la solution de l'équation différentielle $$y'-3y=1-\frac 1x,\ y(1)=y_0$$ touche en un point l'axe des abscisses sans le traverser.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues avec $a$ impaire et $b$ paire. Montrer que l'équation différentielle $$(E)\ y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$$ admet une unique solution impaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb R^2$ tels que toute solution de $y''+ay'+by=0$ soit bornée.
Indication
Corrigé
Équations différentielles linéaires