Maths sup : Développements limités
Formule de Taylor-Young
Enoncé 

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $x$ et de classe $C^2$ sur cet intervalle. Calculer
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.$$
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^2$. Déterminer
$$\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}x}x.$$
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction de classe $C^2$.
- Soit $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$. Que dire de $f'(x_0)$? de $f''(x_0)$?
- Démontrer que $\sqrt f$ est dérivable sur $\mathbb R$ si et seulement si, pour tout $x_0\in\mathbb R$ tel que $f(x_0)=0$, alors $f''(x_0)=0$.
Calculs de développements limités
Enoncé 

Calculer les développements limités suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0}
\end{array}$$
Enoncé 

Déterminer les développements limités des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}.
\end{array}$$
Enoncé 

Calculer les développements limités suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}.
\end{array}$$
Enoncé 

Calculer les développements limités suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \arccos x\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^x e^{t^2}dt\textrm{ à l'ordre 5 en 0}.
\end{array}
$$
Enoncé 

Calculer les développements limités suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\mathbf 1. \frac 1x\textrm{ à l'ordre 3 en }2&&\displaystyle \mathbf 2. \ln(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }2\\
\displaystyle \mathbf 3. e^x\textrm{ à l'ordre 3 en }1&&\displaystyle \mathbf 4. \cos(x)\textrm{ à l'ordre 3 en }\frac{\pi}3\\
\displaystyle \mathbf 5. \sqrt x\textrm{ à l'ordre 3 en 2}
\end{array}$$
Enoncé 

Calculer les développements limités suivants :
$$\begin{array}{lcl}
\mathbf 1. \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}\textrm{ à l'ordre 3 en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 2. \ln\left(x+\sqrt {1+x^2}\right)-\ln x\textrm{ à l'ordre 4 en }+\infty
\end{array}$$
Enoncé 

Calculer, à l'ordre 100, le développement limité en 0 de $\ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)$.
Exercice 11 

- Un DL par équation différentielle et unicité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1,1[$ par $f(x)=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$.
- Déterminer la fonction $a:]-1,1[\to\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in]-1,1[$, $f'(x)+a(x)f(x)=\frac{1}{1-x^2}$.
- Déterminer un développement limité à l'ordre 4 en $0$ de $a$.
- En déduire un développement limité à l'ordre 5 en $0$ de $f$.
Exercice 12 


- Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=x\exp(x^2)$.
- Démontrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
- Justifier que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $4$ en $0$.
- Donner ce développement limité.
Exercice 13 


- Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}{2}\right[$ par $f(x)=2\tan x-x$.
- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque de classe $C^\infty$.
- Justifier que $f^{-1}$ est impaire.
- Donner le développement limité de $f^{-1}$ à l'ordre 6 en 0. On rappelle que $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^6)$.
Exercice 14 


- Développement limité d'une fonction réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montrer que
$f$ admet une fonction réciproque sur $\mathbb R$. Donner un développement limité
de $f^{-1}$ à l'ordre 3 en 0.
Applications des développements limités
Enoncé 

Déterminer les limites des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lrl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\sin x-x}{x^3}\textrm{ en }0;&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\ln(1+x)-\sin(x)}{x^2}\textrm{ en }0;&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\exp(x^2)\cos(2x)-1}{\sin(x^2)-x^2}\textrm{ en }0;\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\textrm{ en }0.\\
\end{array}$$
Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par $\dis f(x)=\frac{1}{1+e^x}.$
- Donner un développement limité de $f$ à l'ordre 3 en zéro.
- En déduire que la courbe représentative de $f$ admet une tangente au point d'abscisse 0, dont on précisera l'équation.
- Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appelé point d'inflexion.
Exercice 17
- Position relative d'une courbe et de sa tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(x^2+2x+2)$.
Donner l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 et étudier
la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.
Enoncé 

Prouver qu'au voisinage de $+\infty$, les courbes représentatives des fonctions suivantes
admettent une asymptote dont on donnera l'équation. On précisera aussi la position de la courbe par rapport à son asymptote.
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ f(x)=\frac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{\cosh x-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ g(x)=x^2\ln\left(\frac{x+1}x\right)\\
\displaystyle \mathbf 3.\ h(x)=\frac{x+1}{1+\exp(1/x)}&&\displaystyle\mathbf 4.\ u(x)=x\exp\left(\frac{2x}{x^2-1}\right)\\
\end{array}$$
Enoncé 

On pose $f(x)=1/(1+x)$, $g(x)=e^{-x}$, $h(x)=\sqrt{1-2\sin x}$, $k(x)=\cos(\sqrt{2x})$.
Préciser les positions relatives au voisinage de 0 des courbes représentatives $C_f$, $C_g$, $C_h$, $C_k$.
Enoncé 

Soit $f:x\mapsto \frac{x^4}{1+x^6}$. Déterminer $f^{(n)}(0)$.
Enoncé 

Donner le développement limité en $0$ à l'ordre $10$ de
$$u(x)=\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)} .$$
En déduire le nombre de solutions dans $\mathbb N$ de l'équation $a+2b+5c=10$.
Enoncé 

Soit $n\geq 1$ et $f:\mathbb R\to\mathbb R$ la fonction définie par
$$f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{\exp\big((n+1)x\big)-1}{\exp(x)-1}&\textrm{si }x\neq 0\\
n+1&\textrm{sinon.}
\end{array}\right.$$
- Calculer le développement limité de $f$ en 0 à l'ordre 3.
- En déduire la valeur de $$\sum_{k=1}^n k^3.$$
Développement asymptotique de suites implicites
Enoncé 

Soit $n\geq 1$.
- Montrer que l'équation $\tan x=x$ possède une solution unique $x_n$ dans $\left]n\pi-\frac\pi2,n\pi+\frac\pi2\right[$.
- Quelle relation lie $x_n$ et $\arctan(x_n)$?
- Montrer que $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+o(1)$.
- En écrivant $x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}+\veps_n$ et en utilisant le résultat de la question 2., en déduire que $$x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac1{n^2}\right).$$
Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R_+^*$ par $f(x)=x\sinh\left(\frac 1x\right)$.
- Montrer que pour tout $x>0$, on a $\tanh(x)<x$.
- En déduire le tableau de variations de $f$. On précisera les limites aux bornes.
- Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de $u\mapsto \frac{\sinh u}{u}.$
- En déduire que $f$ admet au voisinage de $+\infty$ un développement asymptotique de la forme $$f(x)=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+o\left(\frac1{x^2}\right),$$ où $a_0,a_1,a_2$ sont des réels que l'on précisera.
- Montrer que pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $f(x)=\frac{n+1}{n}$ admet une unique solution $u_n>0$.
- Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
- Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
- Déterminer un équivalent de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Enoncé 

On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$.
- Démontrer que cette équation admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$, puis démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
- Démontrer que $(x_n)$ tend vers $+\infty$.
- Démontrer que $x_n\sim_{n\to +\infty}n$.
- Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+o\big(\ln(n)\big)$. On pourra poser $a_n$ tel que $\frac{x_n}n=1+a_n$.
- Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$
- En admettant éventuellement le résultat de la question précédente, dire parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf a.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-\ln(n)&&\displaystyle \mathbf b.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-2\ln(n)\\ \displaystyle \mathbf c.\ x_n=n-\ln(n)+o(\sqrt{\ln n})&&\displaystyle \mathbf d.\ x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln(n)}{n}. \end{array}$$