Math Sup : comparaison des suites et des fonctions
Comparaisons pratiques
Enoncé
Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes?
$$
\begin{array}{lllll}
\mathbf 1.\ n\sim_{+\infty}n+1&\quad&\mathbf 2.\ n^2\sim_{+\infty}n^2+n&\quad&\mathbf 3.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(10^6 n)\\
\mathbf 4.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp\left(n+10^{-6}\right)&\quad&\mathbf 5.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp(2n)&\quad&\mathbf 6.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(n+1).
\end{array}
$$
Enoncé
Trouver un équivalent le plus simple possible aux suites suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ u_n=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}&\quad&\mathbf 2.\ v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\\
\mathbf 3.\ w_n=\frac{n^3-\sqrt{1+n^2}}{\ln n-2n^2}&\quad&\mathbf 4.\ z_n=\sin\left(\frac1{\sqrt{n+1}}\right).
\end{array}$$
Enoncé
Déterminer un équivalent le plus simple possible des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\mathbf 1.\ x+1+\ln x\textrm{ en 0 et en }+\infty&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 2.\ \cos(\sin x)\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \cosh(\sqrt x)\textrm{ en }+\infty
&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sin x\ln(1+x^2)}{x\tan x}\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \ln(\sin x)\textrm{ en }0
&\quad\quad&\displaystyle \mathbf 6.\ \ln(\cos x)\textrm{ en 0}
\end{array}$$
Enoncé
Soit $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ un polynôme à coefficients réels, avec $a_n\neq 0.$ On note $p$ le plus petit indice tel que $a_p\neq 0$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $+\infty$. Déterminer un équivalent simple de $P$ en $0$.
Exercice 5 - Comparaison entre exponentielle et factorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\gamma>0$. Le but de l'exercice est de prouver que
$$e^{\gamma n}=o(n!).$$
Pour cela, on pose, pour $n\geq 1$, $u_n=e^{\gamma n}$ et $v_n=n!$.
- Démontrer qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac 12\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
- En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq C\left(\frac 12\right)^{n-n_0}v_n.$$
- Conclure.
Enoncé
Classer les suites suivantes par ordre de "négligeabilité" :
$$\begin{array}{llll}
a_n=\frac 1n&b_n=\frac1{n^2}&c_n=\frac{\ln n}n&d_n=\frac{e^n}{n^3}\\
e_n=n&f_n=1&g_n=\sqrt{ne^n}.
\end{array}$$
Exercice 7 - Application des équivalents pour déterminer des limites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En utilisant (éventuellement) des équivalents, déterminer les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+2x)}{x^2-x^4}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \lim_{x\to 0}x(3+x)\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt x\sin(\sqrt x)}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+\sin x)}{\tan(6x)}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \lim_{x\to\pi/2}\frac{\ln(\sin^2 x)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{1-\cos 2x}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\\
\displaystyle \mathbf 7.\ \lim_{x\to+\infty}\exp\left(\frac1{x^2}\right)-
\exp\left(\frac{1}{(x+1)^2}\right)
&&\displaystyle \mathbf 8.\ \lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}\\\displaystyle \mathbf 9.\ \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)\arctan x}{x\tan x}
\end{array}$$
Enoncé
Comparer les fonctions suivantes :
- $x\ln x$ et $\ln(1+2x)$ au voisinage de 0;
- $x\ln x$ et $\sqrt{x^2+3x}\ln(x^2)\sin x$ au voisinage de $+\infty$;
Enoncé
Montrer que
$$\sum_{k=1}^n k!\sim_{+\infty} n!.$$
Comparaisons théoriques
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un réel $a$ ou de $a=\pm\infty$. Montrer que
$e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$.
A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$?
Enoncé
Soient $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f\xrightarrow{+\infty} +\infty$.
- On suppose que $g=_{+\infty}o(f)$. Montrer que $\exp(g)=_{+\infty}o(\exp(f))$.
- Montrer que la réciproque est fausse.
- Application : comparer $f\left(x\right)=\,{\left(\ln \left(\ln x\right)\right)}^{{x}^{\ln x }}$ et $g\left(x\right)=\,{\left(\ln x\right)}^{{x}^{\ln \left(\ln x\right)}}$ au voisinage de $+\infty$.
Enoncé
Soient $f,g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a\in\mathbb R$ et strictement positives.
On suppose en outre que $f\sim_a g$ et que $g$ admet une limite $l\in\mathbb R_+\cup\{+\infty\}$. Montrer
que si $l\neq 1$, alors $\ln f\sim_a \ln g$. Que se passe-t-il si $l=1$?
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives telles que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. On pose
$$U_n=\sum_{k=1}^n u_k\textrm{ et }V_n=\sum_{k=1}^n v_k,$$
et on suppose de plus que $V_n\to+\infty$. Démontrer que $U_n\sim_{+\infty} V_n.$
Enoncé
Soit $(v_n)$ une suite tendant vers $0$. On suppose que $v_n+v_{2n}=o\left(\frac 1n\right)$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 0$ et tout $p\geq 0$, on a $$|v_n|\leq |v_{2^{p+1}n}|+\sum_{k=0}^p |v_{2^k n}+v_{2^{k+1}n}|.$$
- En déduire que $v_n=o\left(\frac 1n\right)$.