Résumé de cours : Trigonométrie

Relation de congruence

Soit $m>0$. On dit que deux réels $a$ et $b$ sont congrus modulo $m$ s'il existe un entier relatif $k\in\mathbb Z$ tel que $$a=b+km.$$ On note $a\equiv b\ [m]$.

En trigonométrie, la plupart du temps, on choisira $m=2\pi$ ou $m=\pi$. En arithmétique, $m$ sera plutôt un entier.

Proposition (propriété de la relation de congruence) : Soit $m>0$ et $a,b,c,d\in \mathbb R$. Alors

réflexivité : $a\equiv a\ [m]$.
symétrie : $a\equiv b\ [m]\iff b\equiv a\ [m]$.
transitivité : si $a\equiv b\ [m]$ et $b\equiv c\ [m]$, alors $a\equiv c\ [m]$.
additivité : si $a\equiv b\ [m]$ et $c\equiv d\ [m]$, alors $a+c\equiv b+d\ [m]$.

Cercle trigonométrique - sinus, cosinus, tangente

On munit le plan d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On rappelle que le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On enroule la droite réelle sur le cercle trigonométrique dans le sens contraire aux aiguilles d'une montre (sens positif, ou sens trigonométrique), en plaçant l'origine au point $(1,0)$. Deux points $A$ d'abscisse $\theta$ et $B$ d'abscisse $\theta'$ de la droite réelle ont même image si et seulement si $\theta\equiv \theta'\ [2\pi]$.

Soit $\theta$ un nombre réel et soit $M$ le point sur le cercle trigonométrique tel que $(\vec i,\overrightarrow{OM})=\theta$. Alors on appelle cosinus et sinus de $\theta$ les coordonnées du point $M$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$.

Proposition : Pour tout nombre réel $\theta$, on a $$\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1.$$

Soit $\theta$ un nombre réel tel que $\theta$ n'est pas congru à $\pi/2$ modulo $\pi$. Alors on appelle tangente de $\theta$, noté $\tan(\theta)$, le réel $$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.$$ Géométriquement, la tangente de $\theta$ se lit sur le plan de la façon suivante : soit $A$ le point de coordonnées $(1,0)$ et soit $D$ la droite verticale passant par $A$. Soit $M$ le point du cercle trigonométrique tel que $(\vec i,\overrightarrow{OM})=\theta$. On note $T$ le point d'intersection des droites $D$ et $(OM)$. Alors $T$ a pour coordonnées $(1,\tan(\theta))$.

Propriétés : valeurs usuelles et symétries

Il faut connaitre et savoir retrouver sur le cercle trigonométrique les valeurs suivantes des fonctions trigonométriques :

$\theta$	$ 0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$ \cos(\theta)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$ \sin(\theta)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$	$1$
$ \tan(\theta)$	$$0$$	$\frac{\sqrt 3}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	Non défini

On retrouve les cosinus et sinus d'autres nombres réels tels que $\frac{2\pi}3=\pi-\frac{\pi}3$ grâce aux relations suivantes, qu'on peut également lire sur le cercle trigonométrique grâce aux propriétés de symétrie.

$ \alpha $	$ -\theta $	$\theta+\pi $	$ \pi-\theta $	$\theta+2\pi$	$ \frac{\pi}{2}-\theta $	$\frac{\pi}{2}+\theta $
$\cos\alpha $	$ \cos\theta $	$ -\cos\theta $	$ -\cos\theta $	$\cos\theta$	$ \sin\theta $	$ -\sin\theta $
$\sin\alpha $	$ -\sin\theta $	$ -\sin\theta $	$ \sin\theta $	$\sin\theta$	$ \cos\theta $	$ \cos\theta $

On peut alors résoudre les équations trigonométriques grâce au résultat suivant :

Théorème : Soit $x$ et $y$ deux nombres réels. Alors :

$\cos x=\cos y\iff y\equiv x\ [2\pi]$ ou $y\equiv -x\ [2\pi]$;
$\sin x=\sin y\iff y\equiv x\ [2\pi]$ ou $y\equiv \pi-x\ [2\pi]$;
$\tan x=\tan y\iff y\equiv x\ [\pi]$.

Formules de trigonométrie

Dans ce paragraphe, $x$ et $y$ désigne deux nombres réels.

Formules d'addition : Pour les valeurs de $x$ et $y$ où les expressions ont un sens : $$\begin{array}{lll} \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y&&\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\\ \sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x&&\sin(x-y)=\sin x\cos y-\sin(y)\cos x\\ \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}&&\tan(x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}. \end{array} $$

Formules de duplication : Pour les valeurs de $x$ et $y$ où les expressions ont un sens : \begin{align*} \cos(2x)&=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\\ \sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x)\\ \tan(2x)&=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}. \end{align*}

Formules de factorisation : \begin{array}{lll} \cos(x)+\cos(y)=2\cos\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right)&&\cos(x)-\cos(y)=-2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\sin\left(\frac{x-y}2\right)\\ \sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right)&&\sin(x)-\sin(y)=2\sin\left(\frac{x-y}2\right)\cos\left(\frac{x+y}2\right). \end{array}

Fonctions trigonométriques

La fonction sinus : La fonction $\sin:\mathbb R\to [-1,1]$ est continue et dérivable sur $\mathbb R$. Sa dérivée vérifie pour tout $x\in\mathbb R$, $$(\sin )'(x)=\cos(x).$$ La fonction $\sin$ est impaire et $2\pi$-périodique. Elle vérifie de plus, pour tout $x\in\mathbb R$, $|\sin x|\leq |x|$.

La fonction cosinus : La fonction $\cos:\mathbb R\to [-1,1]$ est continue et dérivable sur $\mathbb R$. Sa dérivée vérifie pour tout $x\in\mathbb R$, $$(\cos )'(x)=-\sin(x).$$ La fonction $\cos$ est paire et $2\pi$-périodique.

La fonction tangente : La fonction $\tan:\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}\to \mathbb R$ est continue et dérivable sur son domaine de définition. Sa dérivée vérifie pour tout $x\in\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}$, $$(\tan )'(x)=\frac1{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$$ La fonction $\tan$ est impaire et $\pi$-périodique. Elle vérifie de plus $$\lim_{x\to{\frac{\pi}2}^-}\tan(x)=+\infty\textrm{ et }\lim_{x\to-{\frac{\pi}2}^+}\tan(x)=-\infty.$$

Trigonométrie