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Résumé de cours : suites de nombres réels ou complexes

Vocabulaire sur les suites

Une suite $(u_n)$ est majorée lorsqu'il existe un réel $M\in\mathbb R$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq M$.

Une suite $(u_n)$ est minorée lorsqu'il existe un réel $m\in\mathbb R$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq m$.

Une suite $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est majorée et minorée, autrement dit, lorsqu'il existe un réel $M\in\mathbb R$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, $|u_n|\leq M$.

Une suite $(u_n)$ est croissante si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\leq u_{n+1}$.

Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq u_{n+1}$.

Une suite $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n< u_{n+1}$.

Une suite $(u_n)$ est stationnaire s'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $u_n=u_{n_0}$.

Notion de limites enseignée dans le supérieur

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ (ou tend vers le réel $\ell$) si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ |u_n-\ell|\leq\veps.$$

Une suite qui ne converge pas s'appelle suite divergente.

Théorème et définition : Si $(u_n)$ converge vers $\ell_1$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell_2$, alors $\ell_1=\ell_2$. Ce réel s'appelle alors la limite de la suite $(u_n)$ et on note $$\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.$$

Proposition : toute suite convergente est bornée.

On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ lorsque : $$\forall M\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\geq M.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ lorsque : $$\forall m\in\mathbb R,\ \exists n_0\in\mathbb N\ \forall n\geq n_0,\ u_n\leq m.$$ On note $\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.

Théorème d'encadrement (des gendarmes) : Si $(u_n),\ (v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n\leq w_n$$ et $(u_n),\ (w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(v_n)$ est convergente de limite $\ell$.

Théorème de divergence par minoration : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang, $$u_n\leq v_n$$ et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

Opérations sur les limites

Multiplication par une constante :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda>0$	$\lambda \ell$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \lambda u_n,\ \lambda<0$	$\lambda \ell$	$-\infty$	$+\infty$

Somme :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1$	$\ell_1$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to+\infty} u_n+ v_n$	$\ell_1+\ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Produit :

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite bornée et si $(v_n)$ est une suite tendant vers 0, alors le produit $(u_n\times v_n)$ est une suite tendant vers 0.

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1>0$	$\ell_1<0$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} u_n\times v_n$	$\ell_1\times \ell_2$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F.I.

Quotient :

$\lim_{n\to+\infty} u_n$	$\ell_1$	$\ell_1>0$	$\ell_1<0$	$+\infty$	$+\infty$	$0$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} v_n$	$\ell_2\neq 0$	$0^+$	$0^+$	$l>0$	$0^+$	$0$	$\infty$
$\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n}$	$\frac{\ell_1}{\ell_2}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	F.I.	F.I.

Composition :
Proposition : Si $\lim_{n\to +\infty}u_n=a$ et si $\lim_{x\to a}f(x)=b$, alors $(f(u_n))$ tend vers $b$.

Limites et ordre

Proposition (conservation des inégalités par passage à la limite) : Si $(u_n),\ (v_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et si, à partir d'un certain rang, $u_n\leq v_n,$ alors $\ell_1\leq \ell_2$.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell>0$, alors à partir d'un certain rang, $u_n>0$.

Théorème de la limite monotone : Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Si elle n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

Deux suites de nombres réels $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante et $(v_n-u_n)$ tend vers 0.

Théorème (convergence des suites adjacentes) : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Suites extraites

Si $(u_n)$ est une suite, on appelle suite extraite de $(u_n)$ (ou sous-suite de $(u_n)$) toute suite de la forme $(u_{\phi(n)})$, où $\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ est strictement croissante.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite convergeant vers $\ell$, alors toute suite extraite de $(u_n)$ converge également vers $\ell$.

Réciproquement, si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite de réels ou de complexes bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Généralités sur les suites récurrentes

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to \mathbb R$ telle que $f(I)\subset I$ (on dit que $I$ est un intervalle stable par $f$). On considère $u_0\in I$ et la suite $(u_n)$ définie par la relation de recurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, $n\in\mathbb N$. Remarquons que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\in I$.

Théorème (monotonie des suites récurrentes) :

si $f(x)\geq x$ pour tout $x\in I$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.

si $f$ est croissante, alors $(u_n)$ est monotone. Plus précisément, si $u_0\leq u_1$, alors $(u_n)$ est croissante, et si $u_0\geq u_1$, alors $(u_n)$ est décroissante.

Ce théorème est particulièrement utile si de plus $I$ est un intervalle borné, en conjonction avec le théorème de la limite monotone.

Remarque : Si $f$ est strictement décroissante sur $I$, la suite $(u_n)$ n'est pas strictement monotone, car si $u_0<u_1$, alors $$u_1=f(u_0)> u_2=f(u_1)$$ tandis que $$u_2=f(u_1)< u_3=f(u_2).$$ En revanche, si $f$ est décroissante, $g=f\circ f$ est croissante, et la suite $(v_n)=(u_{2n})$ vérifie $v_{n+1}=g(v_n)$ : elle est donc monotone.

Théorème (limite possible) : Sous les hypothèses précédentes, si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$, et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$.

Suites arithmétiques, suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n+r$.

Une suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ si, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=qu_n$.

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors

pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=u_0+nr$;
si, pour $n\in\mathbb N$, on note $S_n=u_0+\dots+u_n$, alors $$S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}2=\textrm{nombre de termes}\times\frac{\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme}}2.$$

Proposition : Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors

pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=q^nu_0$;
si, pour $n\in\mathbb N$, on note $S_n=u_0+\dots+u_n$, et si $q\neq 1$, alors $$S_n=\frac{u_0-u_{n+1}}{1-q}=\frac{\textrm{premier terme}-\textrm{terme qui suit le dernier}}{1-q}.$$

Le comportement d'une suite géométrique est donné par la formule donnant son terme général et le résultat suivant.

Théorème : Soit $q\in\mathbb R$. Alors la suite $(q^n)$

tend vers $+\infty$ si $q>1$.
est constante égale à $1$ si $q=1$.
tend vers $0$ si $q\in ]-1,1[$.
prend successivement les valeurs $+1$ et $-1$ si $q=-1$. En particulier, elle diverge.
prend successivement des valeurs positives et négatives si $q<-1$ avec $(|q|^n)$ qui tend vers $+\infty$. En particulier, $(q^n)$ diverge.

Suites arithmético-géométriques

Une suite $(u_n)$ est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a u_n+b$ pour tout entier $n$. En général, on demande $a\neq 1$ et $b\neq 0$ pour ne pas avoir une suite arithmétique ou une suite géométrique.

On cherche alors $\ell$ la solution de l'équation $$\ell=a\ell+b,$$ puis on étudie la suite $(v_n)$ définie par $$v_n=u_n-\ell.$$ On prouve facilement que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$. On étudie alors $(v_n)$ pour obtenir le comportement de $(u_n)$.

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n.$$ On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique $$r^2=ar+b$$ et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction des racines de cette équation caractéristique.

Premier cas : l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et $r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n.$$ Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$.
Deuxième cas : l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n.$$
Troisième cas : l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n\cos(n\alpha)+\mu r^n \sin(n\alpha).$$

Suites et nombres réels

Soit $A$ une partie de $\mathbb R$. On dit que $A$ est dense dans $\mathbb R$ si tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$.

Théorème : $A$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si, pour tout $x\in\mathbb R$, il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.

Exemples : Les ensembles des nombres décimaux, des nombres rationnels, des nombres irrationnels sont denses dans $\mathbb R$.

Proposition : Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb R$.

si $A$ est majorée, il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\sup(A)$.
si $A$ n'est pas majorée, il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui tend vers $+\infty$.

Bien sûr, on a un énoncé similaire pour une partie minorée et pour une partie non minorée, remplaçant $\sup(A)$ par $\inf(A)$ et $+\infty$ par $-\infty$.

Suites de nombres réels ou complexes