Dans toute la suite, $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite de nombres complexes.
Généralités
On appelle série de terme général $u_n$ la suite $(S_n)_{n\geq 0}$ où pour tout $n\geq 0$
$$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$
On note $\sum u_k$ cette suite, et $S_n$ est appelé somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$.
On dit que la série $\sum u_n$ converge
si la suite de ses sommes partielles $(S_n)_{n\geq 0}$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire.
Dans le cas de la convergence, on note
$$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$
Le nombre complexe $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$.
Toujours dans le cas de la convergence, le reste d'ordre $n$ de la série est défini par
$$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge,
alors la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ converge vers 0.
Une série $\sum u_n$ telle que $(u_n)$ ne tend pas vers $0$ est dite grossièrement divergente.
Proposition : Soit $a\in\mathbb C$. La série géométrique $\sum_n a^n$
converge si et seulement si $|a|<1$. Dans ce cas,
$$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=\frac 1{1-a}.$$
Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors
$$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$
En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.
Séries à termes positifs
Si la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, alors la suite $(S_n)$ est croissante.
On en déduit les résultats suivants.
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\leq v_n$.
Alors
si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge.
si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge.
Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\sim v_n$.
Alors $\sum_n u_n$ converge si et seulement si $\sum_n v_n$ converge.
Pour appliquer ces résultats, il nous faut des séries de référence. On a déjà étudié la convergence des séries géométriques.
On va bientôt étudier celle des séries $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^\alpha}.$
Comparaison à une intégrale
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux. On s'intéresse aux séries du type $\sum f(n)$.
Lorsque $f$ est monotone, on peut encadrer $f(n)$ par la méthode des rectangles.
Précisément, on a :
si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$,
$$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$,
$$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
Corollaire (séries de Riemann) : La série $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge
si et seulement si $\alpha>1$.
Séries absolument convergentes
On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum_n |u_n|$ est convergente.
Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.
La réciproque de ce théorème est fausse. Une série qui est convergente sans être absolument convergente
est dite semi-convergente.
Corollaire : Si $(v_n)$ est une suite de réels positifs telle que $\sum_n v_n$ converge
et $u_n=_{+\infty}O(v_n)$, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente, donc convergente.
Exemple : Pour tout $z\in\mathbb C$, la série $\sum\frac{z^n}{n!}$
est convergente et on a $$\exp(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}.$$
Séries alternées
Critère des séries alternées :
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, et
tendant vers $0$. Alors la série
$\sum_n (-1)^n a_n$ converge. De plus, si on note $S$ sa somme, $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}
(-1)^k a_k$ le reste d'ordre $n$, alors pour tout entier $n$, on a
$$S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n},\quad |R_n|\leq a_{n+1}$$
et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n+1}$.
Exemple :
La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>0.$
