$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : nombres réels

Ensembles de nombres

On rappelle les ensembles classiques de nombres :

  • les entiers naturels $\mathbb N$ : $0,1,2,\dots$;
  • les entiers relatifs $\mathbb Z$ : $-4,-2,0,1,4,\dots$;
  • les nombres rationnels $\mathbb Q$, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent $p/q$ où $p,q\in\mathbb Z$ et $q\neq 0$;
  • les nombres décimaux $\mathbb D$, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent $\frac{p}{10^n}$, où $p\in \mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$;
  • les nombres réels $\mathbb R$;
  • les nombres irrationnels, c'est-à-dire $\mathbb R\backslash\mathbb Q$.

Si $x$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel, alors on a $$\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}\leq x<\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+\frac 1{10^n}.$$ $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ est une approximation décimale par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, tandis que $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+10^{-n}$ est une approximation décimale par excès à $10^{-n}$ près de $x$.

On dit qu'une partie $A\subset \mathbb R$ est dense dans $\mathbb R$ si tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$.

Théorème : $\mathbb Q$ et $\mathbb R\backslash\mathbb Q$ sont denses dans $\mathbb R$.
Droite réelle achevée

La droite réelle achevée est l'ensemble $\overline{\mathbb R}$ constituée de $\mathbb R$ auquel on ajoute deux éléments notés $+\infty$ et $-\infty$ : $$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}.$$ On étend à $\overline{\mathbb R}$ l'ordre $\leq$, et les opérations $+$ et $\times$ de la façon suivante :

  • pour tout $x\in\mathbb R$, $-\infty< x< +\infty;$
  • pour tout $x\in\mathbb R$, $x+(+\infty)=(+\infty)+x=+\infty$, $x+(-\infty)=(-\infty)+x=-\infty;$
  • $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$ et $(-\infty)+(-\infty)=-\infty;$
  • $\frac{1}{+\infty}=0$ et $\frac{1}{-\infty}=0;$
  • Pour tout $x\in\overline{\mathbb R}\backslash\{0\}$, $$x\times(+\infty)=(+\infty)\times x=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty&\textrm{ si }x>0\\ -\infty&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right.$$ $$ x\times(-\infty)=(-\infty)\times x=\left\{ \begin{array}{ll} -\infty&\textrm{ si }x>0\\ +\infty&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. .$$
Borne supérieure

Une partie $A$ de $\mathbb R$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\leq M$. $M$ est alors appelée un majorant de $A$.

De même, une partie $A$ de $\mathbb R$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\geq m$. $m$ est alors appelée un minorant de $A$.

On dit qu'un réel $M$ est une (la) borne supérieure de $A\subset\mathbb R$ si c'est un majorant de $A$, et si c'est le plus petit des majorants de $A$ : pour tout majorant $M'$ de $A,$ alors $M\leq M'$. On note $\sup(A)$ la borne supérieure de $A,$ si elle existe.

De même, on appelle borne inférieure de $A\subset\mathbb R$ le plus grand des minorants de $A$, s'il existe. On note alors $\inf(A)$ la borne inférieure de $A,$ si elle existe.

Caractérisation de la borne supérieure : Soit $A$ une partie de $\mathbb R$ et $M$ un nombre réel. Alors $M$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si
  • $M$ majore $A$ : $\forall x\in A,\ x\leq M$;
  • $\forall \veps>0,\ \exists x\in A,\ x\geq M-\veps$.
Théorème : Toute partie non vide majorée de $\mathbb R$ admet une borne supérieure.

De la même façon, $m$ est une borne inférieure de $A$ si $m$ est un minorant de $A$ et si, pour tout $\veps>0$, il existe $x\in A$ avec $x\leq m+\veps$. Toute partie de $\mathbb R$ non vide et minorée admet une borne inférieure.

Nombres réels