Résumé de cours : nombres réels
On rappelle les ensembles classiques de nombres :
- les entiers naturels $\mathbb N$ : $0,1,2,\dots$;
- les entiers relatifs $\mathbb Z$ : $-4,-2,0,1,4,\dots$;
- les nombres rationnels $\mathbb Q$, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent $p/q$ où $p,q\in\mathbb Z$ et $q\neq 0$;
- les nombres décimaux $\mathbb D$, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent $\frac{p}{10^n}$, où $p\in \mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$;
- les nombres réels $\mathbb R$;
- les nombres irrationnels, c'est-à-dire $\mathbb R\backslash\mathbb Q$.
Si $x$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel, alors on a $$\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}\leq x<\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+\frac 1{10^n}.$$ $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ est une approximation décimale par défaut à $10^{-n}$ près de $x$, tandis que $\frac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}+10^{-n}$ est une approximation décimale par excès à $10^{-n}$ près de $x$.
On dit qu'une partie $A\subset \mathbb R$ est dense dans $\mathbb R$ si tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$.
La droite réelle achevée est l'ensemble $\overline{\mathbb R}$ constituée de $\mathbb R$ auquel on ajoute deux éléments notés $+\infty$ et $-\infty$ : $$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}.$$ On étend à $\overline{\mathbb R}$ l'ordre $\leq$, et les opérations $+$ et $\times$ de la façon suivante :
- pour tout $x\in\mathbb R$, $-\infty< x< +\infty;$
- pour tout $x\in\mathbb R$, $x+(+\infty)=(+\infty)+x=+\infty$, $x+(-\infty)=(-\infty)+x=-\infty;$
- $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$ et $(-\infty)+(-\infty)=-\infty;$
- $\frac{1}{+\infty}=0$ et $\frac{1}{-\infty}=0;$
- Pour tout $x\in\overline{\mathbb R}\backslash\{0\}$, $$x\times(+\infty)=(+\infty)\times x=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty&\textrm{ si }x>0\\ -\infty&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right.$$ $$ x\times(-\infty)=(-\infty)\times x=\left\{ \begin{array}{ll} -\infty&\textrm{ si }x>0\\ +\infty&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. .$$
Une partie $A$ de $\mathbb R$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\leq M$. $M$ est alors appelée un majorant de $A$.
De même, une partie $A$ de $\mathbb R$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout $x\in A$, $x\geq m$. $m$ est alors appelée un minorant de $A$.
On dit qu'un réel $M$ est une (la) borne supérieure de $A\subset\mathbb R$ si c'est un majorant de $A$, et si c'est le plus petit des majorants de $A$ : pour tout majorant $M'$ de $A,$ alors $M\leq M'$. On note $\sup(A)$ la borne supérieure de $A,$ si elle existe.
De même, on appelle borne inférieure de $A\subset\mathbb R$ le plus grand des minorants de $A,$ s'il existe. On note alors $\inf(A)$ la borne inférieure de $A,$ si elle existe.
- $M$ majore $A$ : $\forall x\in A,\ x\leq M$;
- $\forall \veps>0,\ \exists x\in A,\ x\geq M-\veps$.
De la même façon, $m$ est une borne inférieure de $A$ si $m$ est un minorant de $A$ et si, pour tout $\veps>0$, il existe $x\in A$ avec $x\leq m+\veps$. Toute partie de $\mathbb R$ non vide et minorée admet une borne inférieure.