Résumé de cours : Espaces préhilbertiens et euclidiens

Produit scalaire

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur $E$ toute application $\langle \cdot,\cdot\rangle:E\times E\to \mathbb R$ vérifiant les propriétés suivantes :

elle est bilinéaire : pour tous $x,y,z\in E$ et tout $\lambda\in\mathbb R$, on a $$\langle x+\lambda y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\lambda \langle y,z\rangle$$ $$\langle x,\lambda y+z\rangle=\lambda \langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle.$$
elle est symétrique : pour tous $x,y\in E$, on a $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$.
elle est définie positive : pour tout $x\in E$, on a $\langle x,x\rangle\geq 0$ et de plus $\langle x,x\rangle=0$ si et seulement si $x=0$.

Un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire s'appelle un espace préhilbertien. Si $E$ est de dimension finie, $E$ est appelé espace euclidien.

Exemples :

l'application $\displaystyle \small(X,Y)\mapsto X^TY=\sum_{k=1}^n x_k y_k$ est un produit scalaire sur $\mathbb R^n,$ qu'on appelle son produit scalaire canonique.
l'application $\displaystyle \small (A,B)\mapsto \textrm{Tr}(A^T B)=\sum_{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq p}a_{i,j}b_{i,j}$ est un produit scalaire sur $\mathcal M_{n,p}(\mathbb R),$ qu'on appelle son produit scalaire canonique
l'application $(f,g)\mapsto \int_a^b f(t)g(t)dt$ est un produit scalaire sur $\mathcal C([a,b]).$

Dans la suite, $E$ désigne un espace préhilbertien muni du produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle$.

Norme associée

On pose, pour $x\in E$, $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$, qu'on appelle norme associée au produit scalaire. Par bilinéarite, $\|\cdot\|$ et $\langle \cdot,\cdot\rangle$ vérifient certaines relations semblables aux identités remarquables. Par exemple, on a, pour tout $x,y\in E,$ $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle.$$ On peut alors exprimer le produit scalaire en fonction de la norme et obtenir l'identité de polarisation suivante : $$2\langle x,y\rangle=\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2.$$

Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire : Soit $x,y\in E$. Alors $$|\langle x,y\rangle|\leq \|x\|\times\|y\|$$ avec égalité si et seulement si $(x,y)$ est une famille liée. De plus, $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$$ avec égalité si et seulement si $x=0$ ou s'il existe $\lambda\in\mathbb R^+$ tel que $y=\lambda x$ (on dit que $x$ et $y$ sont positivement liés).

Exemples : Avec les produits scalaires précédemments décrits, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne : $$\forall f,g\in\mathcal C([a,b]),\ \int_a^b |f(t)g(t)|dt\leq \left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}\left(\int_a^b g^2(t)dt\right)^{1/2},$$ $$\forall x,y\in\mathbb R^n,\ \sum_{k=1}^n |x_ky_k|\leq \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n y_k^2\right)^{1/2}.$$

La norme associée $\|\cdot\|$ au produit scalaire est une norme sur $E$, c'est-à-dire qu'elle vérifie les trois conditions suivantes :

$\forall x\in E,\ \|x\|\geq 0$ avec égalité si et seulement si $x=0$;
$\forall x\in E,\ \forall\lambda\in\mathbb R,\ \|\lambda x\|=|\lambda|\times \|x\|$;
$\forall x,y\in E,\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Familles orthogonales, orthonormales

On dit que deux vecteurs $x,y\in E$ sont orthogonaux si $\langle x,y\rangle=0$. On note $x\perp y$. Deux parties $A$ et $B$ de $E$ sont orthogonales si $x\perp y$ pour tout $x\in A$ et tout $y\in B.$

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est dit orthogonale si les vecteurs qui la composent sont deux à deux orthogonaux. Une famille orthogonale constituée de vecteurs non-nuls est une famille libre.

Théorème de Pythagore : Soit $(x_1,\dots,x_p)$ une famille orthogonale. Alors $$\left\|\sum_{k=1}^p x_k\right\|^2=\sum_{k=1}^p \|x_k\|^2.$$

Si $X$ est une partie de $E$, on appelle orthogonal de $X$ l'ensemble noté $X^\perp$ défini par $$X^\perp=\left\{y\in E;\ \forall x\in X,\ \langle x,y\rangle=0\right\}.$$ $X^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel de $E$.

Un vecteur $x\in E$ est dit unitaire ou normé si $\|x\|=1$. Une famille $(x_i)$ est une famille orthonormale si c'est une famille orthogonale dont tous les vecteurs sont normés.

Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre de $E$. Alors il existe une unique famille orthonormale $(e_1,\dots,e_p)$ vérifiant les deux conditions suivantes :

pour tout $k\in\{1,\dots,p\}$, $\textrm{vect}(e_1,\dots,e_k)=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_k)$;
pour tout $k\in\{1,\dots,p\}$, $\langle e_k,x_k\rangle>0$.

Bases orthonormées

On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien de dimension $n$. Une base orthonormée de $E$ est une famille orthogonale $(e_1,\dots,e_n)$ dont tous les vecteurs sont unitaires. C'est en particulier une base de $E$.

Théorème : $E$ possède des bases orthonormées. De plus, si $(e_1,\dots,e_p)$ est une famille orthonormée de $E,$ on peut la compléter en une base orthonormée de $E.$

Les calculs de la norme et du produit scalaire sont simples dans une base orthonormée. D'une part, si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$, alors tout $x\in E$ s'écrit de façon unique $$x=\sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle e_i.$$ Le réel $\langle x,e_i\rangle$ s'appelle coordonnée de $x$ par rapport à $e_i$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$.

D'autre part, si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$, si $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$ et $y=\sum_{i=1}^n y_i e_i$, alors on peut calculer le produit scalaire et la norme par les formules suivantes : $$\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i$$ $$\|x\|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}.$$

Projection orthogonale

On suppose dans cette partie que $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie.

Théorème : $F^\perp$ est un sous-espace supplémentaire de $F$. Il est orthogonal à $F$ et c'est le seul sous-espace supplémentaire orthogonal à $F$. On l'appelle le supplémentaire orthogonal de $F$.

Corollaire : On a $(F^\perp)^\perp=F$. De plus, si $E$ est de dimension finie, on a $$\dim(F^\perp)=\dim(E)-\dim(F).$$

Soit $x\in E$, qui s'écrit uniquement $x=y+z$ dans la somme directe $F\oplus F^\perp$. Alors $y$ s'appelle le projeté orthogonal de $x$ sur $F$, et est noté $p_F(x)$.

Théorème : Si $(e_1,\dots,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, alors $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p \langle x,e_i\rangle e_i.$$

Soit $A$ une partie non vide de $E$. On appelle distance de $x$ à $A$ notée $d(x,A),$ le réel $$d(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|.$$

Théorème (distance à un sous-espace de dimension finie) : Pour tout $x\in E$ et tout $f\in F$, on a $$\|x-f\|\geq \|x-p_F(x)\|$$ avec égalité si et seulement si $f=p_F(x)$. En particulier, $$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|=\sqrt{\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2}.$$

On suppose que $E$ est de dimension finie et que $H$ est un hyperplan de $E.$ Alors $H^\perp$ est une droite vectorielle. Tout vecteur non nul $u$ orthogonal à $H$ s'appelle un vecteur normal à $H.$

Exemple : Si $\mathbb R^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique, et si $(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb R^n\backslash\{(0,\dots,0)\},$ alors l'hyperplan $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=0$ admet pour vecteur normal $(a_1,\dots,a_n).$

Théorème : On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $H$ un hyperplan de $E$ et $u$ un vecteur normal à $H$. Alors, pour tout $x\in E$, on a $$p_H(x)=x-\frac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}u.$$ En particulier, $$d(x,H)=\frac{|\langle x,u\rangle|}{\|u\|}.$$

Espaces préhilbertiens réels

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