Résumé de cours : Matrices et applications linéaires

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $m,n,p$ sont des entiers strictement positifs.

Matrices et applications linéaires

$E$, $F$ et $G$ désignent des espaces vectoriels de dimensions respectives $p,n,m$, dont $\mathcal B=(e_i)_{1\leq i\leq p}$, $\mathcal C=(f_i)_{1\leq i\leq n}$ et $\mathcal D=(g_i)_{1\leq i\leq m}$ sont des bases respectives.

Soit $x\in E$. La matrice du vecteur $x$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice colonne $X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)$ constituée par les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$ : si $x=a_1e_1+\cdots+a_pe_p$, alors $$X=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_p\end{pmatrix}.$$

Soit $(x_1,\dots,x_r)\in E^r$ une famille de vecteurs de $E$. La matrice de la famille $(x_1,\dots,x_r)$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice de $\mathcal M_{p,r}(\mathbb K)$ dont la $j$-ème colonne est constituée par les coordonnée de $x_j$ dans la base $\mathcal B$.

Soit $u\in \mathcal L(E,F)$. La matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal C$ est la matrice de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs $(u(e_1),\dots,u(e_p))$ dans la base $\mathcal C=(f_1,\dots,f_n)$. On la note $\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$.

L'introduction de la matrice d'une application linéaire permet de connaitre facilement l'image d'un vecteur par cette application linéaire :

Proposition : Soit $x\in E$ de matrice $X$ dans la base $\mathcal B$ et $y=u(x)$ de matrice $Y$ dans la base $\mathcal C$. Alors on a $$Y=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)X.$$

Théorème : L'application \begin{eqnarray*} \mathcal L(E,F)&\to &\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)\\ u&\mapsto&\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u) \end{eqnarray*} est un isomorphisme d'espace vectoriel.

Théorème : La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices. Plus précisément, si $u\in \mathcal L(E,F)$ et $v\in\mathcal L(F,G)$, alors $$\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal D)}(v\circ u)=\textrm{Mat}_{(\mathcal C,\mathcal D)}(v) \textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u).$$ En particulier, l'application \begin{eqnarray*} \mathcal L(E)&\to &\mathcal M_{p,p}(\mathbb K)\\ u&\mapsto&\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal B)}(u) \end{eqnarray*} est un isomorphisme d'anneaux.

Théorème : Si $E$ et $F$ ont même dimension, alors $u$ est un isomorphisme si et seulement si $\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$ est inversible. Dans ce cas, on a $$\textrm{Mat}_{(\mathcal C,\mathcal B)}(u^{-1})=\big[\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)\big]^{-1}.$$

Si $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$, alors $A$ induit une application linéaire $u_A:\mathbb K^p \to\mathbb K^n$ définie par $u_A(X)=AX$ où on identifie un vecteur de $\mathbb K^p$ (resp. $\mathbb K^n$) et le vecteur colonne formé des coordonnées de ce vecteur dans la base canonique. Le noyau, l'image, et le rang de $A$ sont alors par définition le noyau, l'image et le rang de l'endomorphisme associé. Le rang de $A$ est aussi le rang des vecteurs colonnes qui la compose.

Changements de base

$E,F$ sont des espaces vectoriels de dimension finie.

Soit $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux bases de $E$. La matrice de passage de la base $\mathcal B_1$ à la base $\mathcal B_2$ est la matrice de la famille de vecteurs $\mathcal B_2$ dans la base $\mathcal B_1$. On la note $P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}$.

En interprétant $P_{\mathcal B_1\to\mathcal B_2}$ comme $\textrm{Mat}_{(\mathcal B_2,\mathcal B_1)}(\textrm{id}_E)$, on démontre les faits importants suivants :

La matrice $P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}$ est inversible, d'inverse $P_{\mathcal B_2\to \mathcal B_1}$.
Si $x\in E$ a pour coordonnées $X_1$ dans la base $\mathcal B_1$ et pour coordonnées $X_2$ dans la base $\mathcal B_2$, alors $$X_1=P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}X_2.$$

Formule de changement de base pour les applications linéaires : Soit $u\in\mathcal L(E,F)$, $\mathcal B,\ \mathcal B'$ deux bases de $E$, $\mathcal C,\ \mathcal C'$ deux bases de $F$. Alors, si l'on note $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B',\mathcal C')}(u)$, $P=P_{\mathcal B\to \mathcal B'}$, $Q=P_{\mathcal C\to \mathcal C'}$, on a $$B=Q^{-1}AP.$$ En particulier, si $u$ est un endomorphisme, si $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal B)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B',\mathcal B')}(u)$, $P=P_{\mathcal B\to \mathcal B'}$, alors $$B=P^{-1}AP.$$

Équivalence et similitude

Deux matrices $M$ et $M'$ de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont dites équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes. Autrement dit, $M$ et $M'$ sont équivalentes si et seulement s'il existe $P\in GL_p(\mathbb K)$ et $Q\in GL_n(\mathbb K)$ telles que $$M'=Q^{-1}MP.$$

Théorème (caractérisation des matrices équivalentes) : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. De plus, si $M\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ a pour rang $r$, $M$ est équivalente à la matrice $J_r\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ dont tous les coefficients sont nuls, sauf les $r$ premiers de la diagonale qui valent 1.

En particulier, si $u\in\mathcal L(E,F)$ est de rang $r$, il existe une base $\mathcal B$ de $E$ et une base $\mathcal C$ de $F$ telle que $\textrm{Mat}_{(\mathcal B,\mathcal C)}(u)=J_r$.

Corollaire : Soit $M\in \mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$. Alors $M$ et $M^T$ ont le même rang.

Théorème (caractérisation du rang) : Une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ est de rang $r$ si et seulement si :

Il existe une matrice carrée d'ordre $r$ extraite de $A$ qui est inversible;
Toute matrice carrée extraite de $A$ d'ordre $r+1$ n'est pas inversible.

Deux matrices $M,M'\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ sont dites semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $M'=P^{-1}MP$. Autrement dit, $M$ et $M'$ représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

Trace d'une matrice

Si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on appelle trace de $A$, notée $\textrm{Tr}(A)$, la somme des coefficients diagonaux de $A$. La trace est une forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$.

Proposition : Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Alors

$\textrm{Tr}(AB)=\textrm{Tr}(BA)$.
Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\textrm{Tr}(A)=\textrm{Tr}(B)$.

Si $u\in\mathcal L(E)$, alors on appelle trace de $u$ la trace de la matrice représentant $u$ dans n'importe quelle base de $E$.

Proposition : Soit $u,v\in\mathcal L(E)$.

$\textrm{Tr}(uv)=\textrm{Tr}(vu)$.
La trace d'un projecteur est égale à son rang.

Opérations sur les matrices et rang

On rappelle qu'une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice est l'une des trois opérations suivantes :

permuter deux lignes $L_i$ et $L_j$;
multiplier une ligne $L_i$ par un scalaire $\lambda$ non nul;
ajouter un multiple d'une ligne $L_j$ à une autre ligne $L_i$.

On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes.

Proposition : Les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes transforment une matrice en une matrice équivalente. En particulier, elles conservent le rang.

Matrices et applications linéaires