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Résumé de cours : limites et continuité

Dans ce chapitre, sauf mention explicite, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb R$.

Limites de fonctions

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction, $a$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$, et $\ell\in\mathbb R$. On dit que $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction, $a$ une extrémité de $I$. On dit que $f$ admet pour limite $+\infty$ en $a$ si $$\forall M>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies f(x)>M.$$

Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$ et $\ell\in\mathbb R$. On dit que $f$ admet pour limite $\ell$ en $+\infty$ si $$\forall\veps>0,\ \exists A>0,\ \forall x\in [a,+\infty[,\ x\geq A\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$

Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$. On dit que $f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si $$\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\in [a,+\infty[,\ x\geq A\implies f(x)>M.$$

Proposition (unicité de la limite) : Soit $a,\ell,\ell'\in\overline{\mathbb R}$. Si $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ et admet pour limite $\ell'$ en $a$, alors $\ell=\ell'.$

On note alors $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\ell$ ou $\displaystyle f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell.$

Proposition : Si $f$ est définie en $a$ et admet une limite en $a$, alors $f(a)=\lim_{x\to a}f(x).$

Proposition : Si $f:I\to\mathbb R$ admet une limite (finie) en $a$, alors $f$ est localement bornée en $a$ : il existe $h>0$ et $M>0$ tels que, pour tout $x\in ]a-h,a+h[\cap I$, $|f(x)|\leq M.$

Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. On dit que $f$ admet $\ell\in\mathbb R$ comme limite à droite en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ a\leq x<a+\eta\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$ On dit que $f$ admet $\ell\in\mathbb R$ comme limite à gauche en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ a-\eta<x\leq a\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$ On définit de la même façon une limite à droite ou à gauche égale à $\pm\infty,$ en interdisant toutefois $x=a.$

Proposition : Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a$ un point à l'intérieur de $I$. Alors $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche en $a$.

Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $\ell$.

Toutes les opérations usuelles sur les limites (somme, produit, quotients), valables pour les suites, se transposent avec une preuve identique pour les fonctions.

Proposition (composition des limites) : Si $f:I\to J$ et $g:J\to\mathbb R$ sont telles que $\lim_{x\to a}f(x)=b$ et $\lim_{y\to b}g(y)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}g\circ f(x)=\ell$.

Théorème (encadrement) : Si $f,u,v:I\to\mathbb R$ sont trois fonctions telles que, pour tout $x\in I$, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$, si $\lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.

Proposition (passage à la limite dans une inégalité) : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions admettant des limites finies en $a$. Si pour tout $x\in I$, $f(x)\leq g(x)$, alors $\lim_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x\to a}g(x)$.

Théorème (limite monotone) : Soit $f:[a,b[\to\mathbb R$ une fonction croissante et majorée. Alors $f$ admet une limite (à gauche) en $b$.

Continuité

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $a\in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet pour limite $f(a)$ en $a$ : $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-f(a)|<\veps.$$

Théorème (caractérisation séquentielle de la continuité) : $f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.

On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de limite à droite et de limite à gauche. On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.

Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue.

On fixe $a\in I$ et on suppose que $f$ est définie sur $I\backslash\{a\}$ à valeurs dans $\mathbb R$. On dit que $f$ admet un prolongement par continuité en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)$ existe. La fonction $\tilde f$ définie par $$\tilde f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} f(x)&\textrm{si }x\neq a\\ \lim_a f&\textrm{si }x=a \end{array}\right.$$ est alors continue en $a$.

Grands théorèmes sur la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Soit $\gamma\in \mathbb R$ tel que $\gamma$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=\gamma$.

En particulier, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Corollaire : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, le tableau suivant donne l'intervalle $f(I)$ en fonction de $I$ :

	$[a,b]$	$]a,b]$	$[a,b[$	$]a,b[$
$f$ croissante	$[f(a),f(b)]$	$]\lim_a f,b]$	$[a,\lim_b f[$	$]\lim_a f,\lim_b f[$
$f$ décroissante	$[f(b),f(a)]$	$[f(b),\lim_a f[$	$]\lim_b f,f(a)]$	$]\lim_b f,\lim_a f[$

Bien sûr, il existe des variantes au résultat précédent, en considérant par exemple des intervalles semi-ouverts ou en considérant une fonction strictement décroissante (il faut alors inverser les bornes à l'arrivée).

Théorème des bornes atteintes : Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.

En particulier, en combinant ce théorème et le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Dichotomie

L'algorithme de dichotomie permet de déterminer une valeur approchée d'une solution de l'équation $f(x)=0$. Considérons $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $f(a)f(b)<0$. Ceci signifie que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, et par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution à $f(x)=0$ dans l'intervalle $[a,b]$. Considérons maintenant le milieu de $[a,b]$, le point $c=(a+b)/2$. Alors

si $f(a)f(c)<0$, $f(a)$ et $f(c)$ sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[a,c]$;
sinon, c'est $f(c)$ et $f(b)$ qui sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[c,b]$.

Dans les deux cas, on a réduit l'intervalle $[a,b]$ de départ en un intervalle deux fois plus petit. On peut alors réitérer l'opération. Voici le fonctionnement de l'algorithme de dichotomie sur la fonction $f(x)=x^3-3x+1$.

L'algorithme implémentant la méthode de dichotomie sous Python, avec précision fixée, s'écrit simplement :

def dichotomie(a,b,prec):

while b-a>prec:

c = (a+b)/2

if f(a)*f(c) <= 0:

b = c

else:

a = c

return a,b

Continuité, monotonie et injectivité

Théorème : Soit $f:I\to\mathbb R$ continue. Alors $f$ est injective si et seulement si $f$ est strictement monotone. Dans ce cas, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$, $f^{-1}:J\to I$ est continue et $f^{-1}$ est monotone de même sens de monotonie que $f$.

Rappelons que, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de $f$ et la courbe représentative de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x.$

Limites de fonctions - Continuité

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