Résumé de cours : Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Fonctions uniformément continues

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est uniformément continue si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est lipschitzienne s'il existe $k>0$ tel que, pour tous $x,y\in I$, on a $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$.

Proposition : Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue.

Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

On appelle subdivision du segment $[a,b]$ toute suite finie $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$. Le pas de cette subdivision est le plus grand des $a_{i+1}-a_i$.

On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est continue et admet une limite en $a_i$ et en $a_{i+1}$.

On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est une fonction en escalier sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est constante. Une telle subdivision de $[a,b]$ est alors appelée subdivision adaptée à la fonction en escalier $f$.

Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier et si $\sigma=(a_0=a<a_1<\dots<a_n=b)$ est une subdivision adaptée à $f$, on appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$ le réel $$\int_a^b f=\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i)f(x_i)$$ où $x_i$ est n'importe quel réel de l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[$. Remarquons que le nombre $\sum_{i=0}^{n-1} (a_{i+1}-a_i)f(x_i)$ ne dépend pas d'une subdivision adaptée à $f$, ce qui justifie que notre définition est correcte.

Le théorème suivant est fondamental pour passer de l'intégrale d'une fonction en escalier à l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux. Alors pour tout $\veps>0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ définies sur $[a,b]$ telles que $$\phi\leq f\leq \psi\textrm{ et }\psi-\phi\leq \veps.$$

Théorème et définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue par morceaux et posons \begin{eqnarray*} \mathcal I^-(f)&=&\left\{\int_a^b \phi;\ \phi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \phi\leq f\right\}\\ \mathcal I^+(f)&=&\left\{\int_a^b \psi;\ \psi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \psi\geq f\right\}. \end{eqnarray*} Alors $\mathcal I^-(f)$ est majoré et $\mathcal I^+(f)$ est minoré. De plus, $$\sup \mathcal I^-(f)=\inf \mathcal I^+(f).$$ Ce nombre est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$ et est noté $\int_a^b f$ ou $\int_a^b f(t)dt$.

Si $f:[a,b]\to\mathbb C$ est une fonction continue par morceaux à valeurs complexes, on définit son intégrale sur $[a,b]$ par $$\int_a^b f= \int_a^b \Re e(f)+i\int_a^b \Im m (f).$$

Propriétés fondamentales de l'intégrale des fonctions continues sur un segment

Soit $a<b$ deux réels et $f,g:[a,b]\to\mathbb C$ deux fonctions continues par morceaux sur le segment $[a,b]$. Alors l'intégrale vérifie les propriétés suivantes :

linéarité : pour tout couple $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$, $$\int_a^b \big(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.$$
positivité : si $f\geq 0$, alors $\int_a^b f\geq 0$.
croissance : si $f\leq g$, alors $\int_a^b f\leq \int_a^b g$.
En particulier, on en déduit que $$\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|.$$
Relation de Chasles : si $c\in [a,b]$, alors $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$

Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.

Proposition : Soit $f:[-a,a]\to\mathbb C$ une fonction continue par morceaux.

si $f$ est impaire, $\int_{-a}^a f(t)dt=0$.
si $f$ est paire, $\int_{-a}^a f(t)dt=2\int_0^a f(t)dt$.

Proposition : Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction continue par morceaux et $T$-périodique, où $T>0$. Alors, pour tout $a\in\mathbb R$, $$\int_a^{a+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$

Sommes de Riemann

Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb C$. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$

Relations entre intégrales et primitives

On suppose $f$ continue sur un intervalle $I$, et on considère $a$ et $b$ deux éléments de $I$.

Théorème fondamental du calcul intégral : L'application $F:x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

En particulier, le théorème fondamental du calcul intégral admet les conséquences suivantes :

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.
Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $I$, on a $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$.
Si $f$ est de classe $C^1$, alors pour tout $x\in I$, $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt.$
Si $u,v:J\to I$ sont dérivables sur $J$, alors l'application $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$ est dérivable sur $J$ et l'on a $$F'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x)).$$

Intégration par parties et changement de variables

Théorème : Soient $u,v:I\to\mathbb C$ deux fonctions de classe $C^1$. Alors pour tous $a,b$ dans $I$, on a $$\int_a^b u'(t)v(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(t)v'(t)dt.$$
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$

Formules de Taylor

Théorème (formule de Taylor avec reste intégral) : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$

Inégalité de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$\left| f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M_{n+1}\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}$$ avec $M_{n+1}=\sup_{[a,b]}|f^{(n+1)}|$.

Intégrale d'une fonction continue sur un segment