Résumé de cours : Inégalités, valeur absolue, partie entière
La relation $\leq$ est une relation d'ordre sur $\mathbb R$. Elle est compatible avec les opérations $+$ et $\times$ au sens suivant :
- si $a\leq b$ et $c\leq d$, alors $a+c\leq b+d$.
- si $a\leq b$ et si $c>0$, alors $ac\leq bc$.
Plus généralement, si $0<a\leq b$ et $0<c\leq d$, alors $0<ac\leq bd$.
Si $A$ est une partie de $\mathbb R$ et si $m$ est un nombre réel, on dit que
- $m$ est un majorant de $A$ si pour tout $x\in A$, on a $x\leq m$.
- $m$ est un minorant de $A$ si pour tout $x\in A$, on a $x\geq m$.
On dit $A$ est une partie majorée si elle admet un majorant. Par exemple, $A=[1,2]$ est majorée, mais $A=[1,+\infty[$ n'est pas majorée. De même, on dit que $A$ est une partie minorée si elle admet un minorant. On dit qu'une partie est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
On dit que $m$ est le maximum de $A$ si $m\in A$ et si $m$ est un majorant de $A$. De même, on dit que $m$ est le minimum de $A$ si $m\in A$ et si $m$ est un minorant de $A$.
Une partie bornée de $\mathbb R$ n'admet pas toujours de maximum ou de minimum.
C'est le cas par exemple de $A=]-1,1[$.
La valeur absolue d'un nombre réel $x$ est la distance entre le point $O$ et le point $M$ d'abscisse $x$ sur une droite graduée. On a : $$\left\{ \begin{array}{rcll} |x|&=&x&\textrm{ si }x\geq 0\\ |x|&=&-x&\textrm{ si }x<0. \end{array}\right.$$
On appelle intervalle de $\mathbb R$ toute partie $I$ de $\mathbb R$ vérifiant la propriété suivante : $$\forall (x,y)\in I^2,\ \forall t\in\mathbb R,\ x\leq t\leq y\implies t\in I.$$ Autrement dit, les intervalles de $\mathbb R$ sont les parties de $\mathbb R$ sans trous.
- 4 types d'intervalles bornés : $[a,b]$, $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$ avec $a,b\in\mathbb R$;
- 5 types d'intervalles non bornés : $[a,+\infty[$, $]a,+\infty[$, $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$, avec $a\in\mathbb R$, et aussi $\mathbb R$ lui-même qui est un intervalle.
En particulier, si $a$ est un réel et $r>0$, l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-a|\leq r$ est l'intervalle $[a-r,a+r]$.
Soit $x$ un nombre réel. On appelle partie entière de $x$ le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$. On la note $\lfloor x\rfloor$.
Exemple : $\lfloor \pi\rfloor=3$, $\lfloor -2,\!3\rfloor =-3$.
- la fonction partie entière est croissante : $x\leq y\implies \lfloor x\rfloor\leq \lfloor y\rfloor$.
- pour tout $x\in\mathbb R$, on a $x=\lfloor x\rfloor \iff x\in \mathbb Z$.
- pour tout $x\in\mathbb R$, on a $x-\lfloor x\rfloor\in [0,1[$.
Courbe représentative de la fonction partie entière :
