$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Inégalités, valeur absolue, partie entière

Relation d'ordre sur $\mathbb R$

La relation $\leq$ est une relation d'ordre sur $\mathbb R$. Elle est compatible avec les opérations $+$ et $\times$ au sens suivant :

  • si $a\leq b$ et $c\leq d$, alors $a+c\leq c+d$.
  • si $a\leq b$ et si $c>0$, alors $ac\leq bc$.

Plus généralement, si $0<a\leq b$ et $0<c\leq d$, alors $0<ac\leq bd$.

Si $A$ est une partie de $\mathbb R$ et si $m$ est un nombre réel, on dit que

  • $m$ est un majorant de $A$ si pour tout $x\in A$, on a $x\leq m$.
  • $m$ est un minorant de $A$ si pour tout $x\in A$, on a $x\geq m$.

On dit $A$ est une partie majorée si elle admet un majorant. Par exemple, $A=[1,2]$ est majorée, mais $A=[1,+\infty[$ n'est pas majorée. De même, on dit que $A$ est une partie minorée si elle admet un minorant. On dit qu'une partie est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

On dit que $m$ est le maximum de $A$ si $m\in A$ et si $m$ est un majorant de $A$. De même, on dit que $m$ est le minimum de $A$ si $m\in A$ et si $m$ est un minorant de $A$.

Une partie bornée de $\mathbb R$ n'admet pas toujours de maximum ou de minimum. C'est le cas par exemple de $A=]-1,1[$.

Valeur absolue, intervalles

La valeur absolue d'un nombre réel $x$ est la distance entre le point $O$ et le point $M$ d'abscisse $x$ sur une droite graduée. On a : $$\left\{ \begin{array}{rcll} |x|&=&x&\textrm{ si }x\geq 0\\ |x|&=&-x&\textrm{ si }x<0. \end{array}\right.$$

Proposition (inégalité triangulaire) : Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. Alors : $$|a+b|\leq |a|+|b|$$ $$|\ |a| -|b|\ |\leq |a-b|.$$

On appelle intervalle de $\mathbb R$ toute partie $I$ de $\mathbb R$ vérifiant la propriété suivante : $$\forall (x,y)\in I^2,\ \forall t\in\mathbb R,\ x\leq t\leq y\implies t\in I.$$ Autrement dit, les intervalles de $\mathbb R$ sont les parties de $\mathbb R$ sans trous.

Proposition : Il y a 9 types d'intervalles :
  • 4 types d'intervalles bornés : $[a,b]$, $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$ avec $a,b\in\mathbb R$;
  • 5 types d'intervalles non bornés : $[a,+\infty[$, $]a,+\infty[$, $]-\infty,a]$, $]-\infty,a[$, avec $a\in\mathbb R$, et aussi $\mathbb R$ lui-même qui est un intervalle.

En particulier, si $a$ est un réel et $r>0$, l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-a|\leq r$ est l'intervalle $[a-r,a+r]$.

Partie entière

Soit $x$ un nombre réel. On appelle partie entière de $x$ le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$. On la note $\lfloor x\rfloor$.

Exemple : $\lfloor \pi\rfloor=3$, $\lfloor -2,\!3\rfloor =-3$.

Proposition (caractérisation de la partie entière) : Soit $x\in\mathbb R$ et $k\in\mathbb Z$. Alors $k=\lfloor x\rfloor$ si et seulement si $$k\leq x<k+1.$$
Proposition (propriétés de la partie entière) :
  • la fonction partie entière est croissante : $x\leq y\implies \lfloor x\rfloor\leq \lfloor y\rfloor$.
  • pour tout $x\in\mathbb R$, on a $x=\lfloor x\rfloor \iff x\in \mathbb Z$.
  • pour tout $x\in\mathbb R$, on a $x-\lfloor x\rfloor\in [0,1[$.

Courbe représentative de la fonction partie entière :

Inégalités, valeur absolue, partie entière