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Résumé de cours : groupes, anneaux, corps

Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. On appelle loi de composition interne sur $E$ toute application $f:E\times E\to E$. En général, au lieu de noter $f(x,y)$, on note de façon additive $x+y$ ou de façon multiplicative $x\star y$. Un ensemble E muni d'une loi de composition interne $\star$ s'appelle un magma, et on le note $(E,\star).$

Exemples :

L'addition, la multiplication sont des lois de composition interne sur $\mathbb N$, $\mathbb Z,$ $\mathbb R,$ $\mathbb Q,$ $\mathbb C.$

L'addition des matrices est une loi de composition interne dans $\mathcal M_{n,p}(\mathbb R),$ le produit de deux matrices est une loi de composition interne dans $\mathcal M_n(\mathbb R).$

Si $A$ est un ensemble et $E=\mathcal F(A)$ est l'ensemble de toutes les fonctions de $A$ dans $A$, alors la composition est une loi de composition interne sur $E.$

Si $X$ est un ensemble, alors la réunion et l'intersection sont des lois de composition interne sur $\mathcal P(X),$ l'ensemble des parties de $X.$

Soit $(E,\star)$ un magma. On dit que $\star$ est

associative si pour tous $x,y,z\in E,$ $x\star(y\star z)=(x\star y)\star z.$
commutative si pour tous $x,y\in E,$ $x\star y=y\star x.$

Si $(E,\star)$ est un magma associatif, si $x\in E$ et $n\in\mathbb N^*,$ on peut alors définir par récurrence $x^n=x\star x^{n-1}$. On note aussi $nx$ quand la loi est notée $+.$

On dit que $e$ est un élément neutre pour le magma $(E,\star)$ si, pour tout $x\in E$, $x\star e=e\star x=x.$ Si un tel élément neutre existe, il est unique et on l'appelle l'élément neutre de $(E,\star)$. On le note souvent $0_E$ si la loi est notée $+$, ou $1_E$ si la loi est notée $\times.$

Lorsque le magma $(E,\star)$ possède un élément neutre $e$, on dit que $x\in E$ est inversible s'il existe $y\in E$ tel que $x\star y=e$.

Proposition : Soit $(E,\star)$ un magma dont la loi est associative, $x,y\in E$ inversibles. Alors

$x$ admet un unique inverse, que l'on note $x^{-1}$ ou $-x.$
$x^{-1}$ est inversible, d'inverse $x.$
$x\star y$ est inversible, d'inverse $y^{-1}\star x^{-1}.$
si $z_1,z_2$ sont dans $E$ tels que $x\star z_1=x\star z_2,$ alors $z_1=z_2.$
pour $n\in\mathbb N^*,$ $x^n$ est inversible, d'inverse $(x^{-1})^n,$ que l'on note $x^{-n}.$

Soit $(E,\star)$ un magma. Une partie $F\subset E$ est stable par $\star$ si, pour tous $x,y\in F$, $x\star y\in F.$ L'ensemble $(F,\star)$ est alors un magma.

Groupe

On appelle groupe un magma associatif qui possède un élement neutre et tel que tout élément est inversible. Un groupe est donc un ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne $\star$ telle que

pour tous $x,y,z\in G,$ $x\star(y\star z)=(x\star y)\star z;$
il existe $e\in G$ tel que, pour tout $x\in G$, $x\star e=e\star x=x;$
pour tout $x\in G$, il existe $y\in G$ tel que $x\star y=y\star x=e.$

Le groupe est dit commutatif si la loi $\star$ est commutative.

Exemple :

$(\mathbb Z,+)$, $(\mathbb Q,+)$, $(\mathbb R,+)$, $(\mathbb C,+)$ sont des groupes.

$(\mathbb Q^*,\times)$, $(\mathbb Q_+^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$, $(\mathbb R_+^*,\times),$ $(\mathbb C^*,\times)$ sont des groupes.

notant $\mathbb U=\{z\in \mathbb C:\ |z|=1\}$ et pour $n\geq 1,$ $\mathbb U_n=\{z\in\mathbb C:\ z^n=1\}$ alors $(\mathbb U,\times)$ et $(\mathbb U_n,\times)$ sont des groupes.

Si $X$ est un ensemble et $S_X=\{f:X\to X\textrm{ bijective}\}$, alors $(S_X,\circ)$ est un groupe, appelé groupe des permutations de $X.$

Proposition et définition : Soit $(G_1,\star)$ et $(G_2,\star)$ deux groupes. Alors on munit $G_1\times G_2$ d'une structure de groupe en posant $$(x_1,x_2)\star (y_1,y_2)=(x_1\star y_1,x_2\star y_2).$$ On appelle alors $(G_1\times G_2,\star)$ le groupe produit de $G_1$ et $G_2$.

Soit $(G,\star)$ un groupe. Une partie $H$ de $G$ est appelée un sous-groupe de $G$ si $H$ est stable par $\star$ et si $(H,\star)$ est lui-même un groupe.

Exemple : $(\mathbb Z,+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb R,+),$ $(\mathbb U,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb C^*,\times).$

Proposition (caractérisation des sous-groupes) : Une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :

$H$ est non-vide;
$H$ est stable par passage au produit : pour tous $x,y\in H$, alors $x\star y\in H$;
$H$ est stable par passage à l'inverse : pour tout $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.

Soit $(G,\star)$ et $(H,\times)$ deux groupes. Une application $f:G\to H$ est un morphisme de groupe si pour tous $x,y\in G$, on a $f(x\star y)=f(x)\times f(y)$.

Proposition : Soit $f:G\to H$ un morphisme de groupes. Alors :

l'image directe d'un sous-groupe de $G$ est un sous-groupe de $H$;
l'image réciproque d'un sous-groupe de $H$ est un sous-groupe de $G$;
$f(e_G)=e_H$.
pour tout $x\in G,$ $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}.$

On appelle noyau du morphisme $f:G\to H$ le sous-groupe de $G$ $$\ker(f)=f^{-1}(e_H)=\{x\in G:\ f(x)=e_H\}.$$ On appelle image du morphisme $f:G\to H$ le sous-groupe de $H$ $$\textrm{Im}(f)=f(G)=\{f(x):\ x\in G\}.$$

Proposition : Un morphisme de groupes $f:G\to H$ est

injectif si et seulement si $\ker(f)=\{e_G\}$;
surjectif si et seulement si $\textrm{Im}(f)=H$.

On dit que le morphisme $f:G\to H$ est un isomorphisme si $f$ est bijective.

Proposition : Soit $f:G\to H$ un isomorphisme de groupes. Alors $f^{-1}$ est un (iso)morphisme de $H$ sur $G$.

On parle aussi parfois d'endomorphisme pour désigner un morphisme d'un groupe $G$ dans lui-même et d'automorphisme pour désigner un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.

Anneaux

On appelle anneau la donnée d'un ensemble $A$ et de deux lois de composition interne notées $+$ et $\times$ sur $A$ vérifiant les propriétés suivantes :

$(A,+)$ est un groupe abélien dont le neutre sera noté $0_A$;
La loi $\times$ est associative : pour tous $a,b,c\in A$, $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$;
la loi $\times$ possède un élément neutre noté $1_A$;
la loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in A$, on a $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c\textrm{ et }(b+c)\times a=b\times a+c\times a.$$

Lorsque la loi $\times$ est commutative, on dit que l'anneau est commutatif.

Exemples : $(\mathbb Z,+,\times)$, $(\mathbb R,+,\times)$, $(\mathbb C,+,\times)$ sont des anneaux commutatifs. $(\mathcal M_n(\mathbb R),+,\times)$ est un anneau qui n'est pas commutatif.

Règles de calculs dans un anneau : soit $A$ un anneau, et $a,b\in A$. Alors

$a\times 0_A=0_A\times a=0_A$;
pour tout $n\in\mathbb Z$, $n(ab)=(na)b=a(nb)$;
$(-a)(-b)=ab$;
si $a$ et $b$ commutent, $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}\textrm{ et }a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-1-k}.$$

Dans un anneau $A$, tous les éléments $a\in A$ n'admettent pas forcément d'inverse pour la loi $\times$. Lorsque c'est le cas, on dit que $a$ est inversible et on note son inverse $a^{-1}$. L'ensemble des éléments inversible de l'anneau est noté $U(A)$. C'est un groupe pour la loi $\times.$

Si $A$ est un anneau et $B$ est une partie de $A$, on dit que $B$ est un sous-anneau de $A$ si $B$ est stable pour les lois $+$ et $\times$ et si $B$ munit des lois $+$ et $\times$ est un anneau.

Proposition (caractérisation des sous-anneaux) : Une partie $B$ de l'anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si :

$1_A\in B$;
pour tous $a,b\in B$, $a-b\in B$;
pour tous $a,b\in B$, $a\times b\in B$.

Soit $A,B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux si les conditions suivantes sont vérifiées :

$f(1_A)=1_B$;
pour tous $a,b\in A$, on a $f(a+b)=f(a)+f(b)$;
pour tous $a,b\in A$, on a $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$.

Lorsque $f$ est bijective, on parle d'isomorphisme d'anneaux. Remarquons que pour un morphisme d'anneaux $f:A\to B,$ on a toujours $f(0_A)=0_B$ et $f(na)=nf(a),$ avec $n\in\mathbb Z$ et $a\in A.$

Corps

Un anneau $A$ est intègre s'il est commutatif, et si l'équation $a\times b=0$ entraîne $a=0$ ou $b=0$.

Exemples : $\mathbb Z$, $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des anneaux intègres. En revanche, pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas intègre.

Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.

Exemples : $\mathbb R$ et $\mathbb C$ sont des corps. En revanche, $\mathbb Z$ n'est pas un corps et pour $n\geq 2$, $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas un corps.

Une partie $\mathbb L$ d'un corps $\mathbb K$ est un sous-corps de $\mathbb K$ si c'est un sous-anneau de $\mathbb K$ tel que, pour tout $x\in \mathbb L,$ $x\neq 0,$ alors $x^{-1}\in\mathbb L.$ $\mathbb L$ est alors un corps pour les lois induites par celles de $\mathbb K.$

Groupes, anneaux, corps

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