$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Fractions rationnelles

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Corps des fractions, opérations, degré

Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.

On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$ Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.

Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg(P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.

Fraction irréductible, zéros, pôles

Soit $F\in\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle. Alors $F$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.

Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.

Soit $F\in\mathbb K(X)$ s'écrivant sous forme irréductible $P/Q$. Notons $\mathcal P$ les pôles de $F$. Alors on associe à $F$ une fonction définie sur $\mathbb K\backslash \mathcal P$ par $x\mapsto P(x)/Q(x).$ Cette fonction s'appelle fonction rationnelle associée à $F.$

Décomposition en éléments simples

Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $P$ par $Q$.

Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$
Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-x_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-x_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$
Proposition : Si $P$ se factorise en $P(X)=\lambda \prod_{i=1}^p (X-\alpha_i)^{m_i},$ alors la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}P$ est $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^p \frac{m_i}{X-\alpha_i}.$$
Pratique de la décomposition en éléments simples

Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,

  • on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
  • on calcule la partie entière de la fraction rationnelle en calculant le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$;
  • on factorise le polynôme $Q$ en produit de polynômes irréductibles;
  • on écrit a priori la décomposition en éléments simples;
  • pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le coefficient devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient s'obtient en multipliant $\displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)}$ par $(X-a)^m$ et en évaluant en $X=a$;
  • en particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
  • pour déterminer les autres coefficients, on peut évaluer en un point, multiplier par $X$ et regarder la limite en $+\infty,$ mettre au même dénominateur et identifier...
  • si on réalise la décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ et qu'il y a un polynôme de degré $2$ dans la factorisation de $Q$ en produits d'irréductibles, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ puis regrouper les parties polaires correspondant aux pôles conjugués.