$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Fonctions usuelles

Dans toute la suite, le plan est muni d'un repère orthonormé $(0,\vec i,\vec j)$.

Généralités sur les fonctions

Dans ce chapitre, on s'intéresse à des fonctions $f$ définies sur une partie $E$ de $\mathbb R$ et à valeurs dans $\mathbb R$. Le plus souvent, $f$ sera donnée par une expression algébrique. On appellera ensemble de définition de la fonction $f$ la plus grande partie $E$ de $\mathbb R$ pour laquelle l'expression $f(x)$ a un sens.

Si $f:E\to\mathbb R$ est une fonction, sa représentation graphique (ou son graphe) est l'ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ où $x$ parcourt $E$. Il faut savoir déduire le graphe de fonctions simples qui s'écrivent à partir de $f$ :

  • par symétries :
      le graphe de la fonction $x\mapsto -f(x)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par symétrie par rapport à $(Ox)$;
      le graphe de la fonction $x\mapsto f(-x)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par symétrie par rapport à $(Oy)$.
  • par translations :
      le graphe de la fonction $x\mapsto f(x)+b$ s'obtient à partir de celui de $f$ par translation de vecteur $b\vec j$;
      le graphe de la fonction $x\mapsto f(x+a)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par translation de vecteur $-a\vec i$.

Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est paire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est alors symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.

Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est impaire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine.

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ et soit $a>0$. On dit que $f$ est périodique de période $a$ si, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x+a)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est invariante par translation de vecteur $a\vec i$.

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction. On dit que $f$ est

  • croissante si $$\forall x,y\in I,\ x\leq y\implies f(x)\leq f(y).$$
  • strictement croissante si $$\forall x,y\in I,\ x<y\implies f(x)<f(y).$$
  • décroissante si $$\forall x,y\in I,\ x\leq y\implies f(x)\geq f(y).$$
  • (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
  • majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ telle que $f(x)\leq M$ pour tout $x\in I$. Dans ce cas, on dit que $M$ est un majorant de $f$.
  • minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ telle que $f(x)\geq m$ pour tout $x\in I$. Dans ce cas, on dit que $m$ est un minorant de $f$.
  • bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Ceci revient à dire qu'il existe $K\in\mathbb R$ tel que $|f(x)|\leq K$ pour tout $x\in I$.

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $x_0\in I$. On dit que $f$

  • admet un maximum sur $I$ en $x_0$ si pour tout $x\in I$, $f(x)\leq f(x_0)$.
  • admet un minimum sur $I$ en $x_0$ si pour tout $x\in I$, $f(x)\geq f(x_0)$.
Dérivée d'une fonction

Dans cette partie, $I,J$ désignent des intervalles de $\mathbb R$.

Soit $f:I\to\mathbb R$ et $x_0\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$. On note alors $f'(x_0)$ cette limite et on l'appelle nombre dérivé de $f$ en $x_0$. Si $f$ est dérivable en tout point de $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. La fonction $f'$, définie sur $I$, s'appelle alors la dérivée de $f$. On dit que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et si de plus $f'$ est continue sur $I$.

Lorsque $f$ est dérivable en $x_0$, sa courbe représentative admet une tangente au point de coordonnées $(x_0,f(x_0))$ d'équation $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.

Lorsqu'elle est définie, la fonction $f'$ peut elle-même être dérivable sur $I$. On appelle alors $f^{(2)}$ la dérivée de $f'$. Par récurrence, on définit la dérivée $k$-ième de $f$, notée $f^{(k)}$, comme la dérivée de la dérivée $k-1$-ième. En général, on note $f''$ a la place de $f^{(2)}$. On dit alors que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $I$ si $f^{(k)}$ existe et si $f^{(k)}$ est continue sur I. On dit que $f$ est classe $\mathcal C^\infty$ sur $I$ si elle est de classe $\mathcal C^k$ pour tout $k\geq 1$.

Proposition :
  • Soit $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$ Si de plus $g$ ne s'annule pas, alors $f/g$ est dérivable et $$\left(\frac f g\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$
  • Soit $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$
  • On peut remplacer dans l'énoncé précédent dérivable par $\mathcal C^1$, ou $k$ fois dérivable, ou $\mathcal C^k$, ou $\mathcal C^\infty$, mais les formules ne sont valables que pour la dérivée première.

    Théorème : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et soit $f:I\to\mathbb R$ dérivable.
    • $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x\in I$, $f'(x)\geq 0$;
    • $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ et si $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle $[a,b]\subset I$ avec $a<b$.

    En particulier, si $f'>0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante, mais la réciproque est fausse comme le montre la fonction $x^3$.

    Fonctions réciproques

    On rappelle qu'une fonction $f:E\to F$ est bijective si pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet une unique solution $x\in E$. Dans ce cas, on peut définir la fonction réciproque $f^{-1}:F\to E$ par, pour tout $y\in F$, $f^{-1}(y)$ est l'unique $x\in E$ tel que $y=f(x)$.

    Dans le cas des fonctions définies sur un intervalle, on dispose d'une condition suffisante simple pour démontrer qu'une fonction est bijective.

    Théorème : Si $f:I\to\mathbb R$ est continue et strictement monotone, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$.

    Lorsqu'une fonction bijective est dérivable, sa réciproque est aussi dérivable aux points $f(a)$ tels que $f'(a)\neq 0$ et on a une formule pour la dérivée.

    Théorème : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction bijective. Soit $b=f(a)\in J$ tel que $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)\neq 0$. Alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}.$$

    Autrement dit, on a $\displaystyle (f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}.$

    Proposition : Si $f:I\to \mathbb R$ est une bijection, si $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ sont les courbes représentatives respectives de $f$ et de $f^{-1}$, alors $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.
    Fonction exponentielle
    • Définition : la fonction $\exp$ est l'unique fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$.
    • Notation : $e^x$ ou $\exp(x)$;
    • Domaine de définition : $\mathbb R$;
    • Propriétés opératoires : $$\forall a,b\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),\ \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)},$$ $$ \exp(na)=(\exp a)^n.$$
    • Dérivée : $\exp(x)$;
    • Sens de variation : croissante;
    • Limites aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$;
    • Inégalité classique : $\forall x\in\mathbb R,\ \exp(x)\geq 1+x$.
    • Courbe représentative :
    Fonction logarithme népérien
    • Définition : la fonction $\exp$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $]0,+\infty[$. Sa réciproque est la fonction logarithme népérien.
    • Notation : $\ln x$
    • Domaine de définition : $]0,+\infty[$
    • Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,$$ $$\ln(a^n)=n\ln a.$$
    • Dérivée : $x\mapsto \frac 1x$
    • Sens de variation : croissante
    • Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
    • Inégalité classique : $\forall x>0,\ \ln(1+x)\leq x$.
    • Courbe représentative :
    • Logarithme de base $a$ : pour $a>0$ et $a\neq 1$, $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$. En particulier, on utilise très souvent le logarithme décimal $\log_{10}$ qui est parfois simplement noté $\log_{10}$.
    Fonctions puissance
    • Définition : pour $\alpha\in\mathbb R$, $x^\alpha=\exp(\alpha \ln x)$;
    • Domaine de définition : $\mathbb R_+^*$, sauf si $\alpha$ est un entier naturel. Dans ce cas, le domaine de définition est $\mathbb R$.
    • Dérivée : $\alpha x^{\alpha-1}$;
    • Sens de variation : croissante si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$.
    • Limites aux bornes :
      • si $\alpha>0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$;
      • si $\alpha<0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$;
    • Propriétés algébriques : pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb R$, pour tout $x>0$, on a $$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha,\ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta,\ (x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}.$$
    • Courbe représentative :
    Croissance comparée
    $$\begin{array}{lll} \forall \alpha,\beta>0, \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{(\ln x)^\beta}=+\infty&&\forall\alpha\in\mathbb R, \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=+\infty\\ \forall \alpha,\beta>0, \lim_{x\to 0^+}{x^\alpha}{|\ln x|^\beta}=0&&\forall\alpha\in\mathbb R, \lim_{x\to-\infty}e^x|x|^\alpha=0\\ \end{array}$$
    Fonctions arcsin, arccosinus, arctangente
    Nom arcsinus arccosinus arctangente
    Notation $\arcsin x$ $\arccos x$ $\arctan x$
    Départ et
    arrivée
    $[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]\to[0,\pi]$ $\mathbb R\to ]–\pi/2,\pi/2[$
    Lien avec les
    fonctions circulaires
    $\small y=\arcsin x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\sin y\\ y\in\left[\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right] \end{array}\right.$ $\small y=\arccos x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\cos y\\y\in[0,\pi] \end{array}\right.$ $\small y=\arctan x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\tan y\\y\in\left]\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right[ \end{array}\right.$
    Parité Impaire Ni paire, ni impaire Impaire
    Dérivée $\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$ $-\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$ $\frac1{1+x^2}$
    Monotonie Croissante Décroissante Croissante
    Limites Sans objet Sans objet $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2$
    Courbe
    représentative
    Formules $\forall x\in [-1,1], \arccos x+\arcsin x=\frac\pi 2$ $\small \forall x> 0,\ \arctan x+\arctan\frac 1x=\frac\pi2.$
    Fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique
    Nom sinus hyperbolique cosinus hyperbolique tangente hyperbolique
    Définition $\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ $\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ $\th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
    Départ et
    arrivée
    $\mathbb R\to\mathbb R$ $\mathbb R\to [1,+\infty[$ $\mathbb R\to]-1,1[$
    Parité Impaire Paire Impaire
    Dérivée $\ch x$ $\sh x$ $1-\th^2 x=\frac 1{\ch^2 x}$
    Monotonie Croissante Croissante sur $\mathbb R_+$ Croissante
    Limites $\lim_{x\to+\infty}\sh x=+\infty$ $\lim_{x\to+\infty}\ch x=+\infty$ $\lim_{x\to+\infty}\th x=1$
    Courbe
    représentative
    Formules $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$