Résumé de cours : Fonctions usuelles
Dans toute la suite, le plan est muni d'un repère orthonormé $(0,\vec i,\vec j)$.
Dans ce chapitre, on s'intéresse à des fonctions $f$ définies sur une partie $E$ de $\mathbb R$ et à valeurs dans $\mathbb R$. Le plus souvent, $f$ sera donnée par une expression algébrique. On appellera ensemble de définition de la fonction $f$ la plus grande partie $E$ de $\mathbb R$ pour laquelle l'expression $f(x)$ a un sens.
Si $f:E\to\mathbb R$ est une fonction, sa représentation graphique (ou son graphe) est l'ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ où $x$ parcourt $E$. Il faut savoir déduire le graphe de fonctions simples qui s'écrivent à partir de $f$ :
- par symétries :
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le graphe de la fonction $x\mapsto -f(x)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par symétrie par rapport à $(Ox)$;
le graphe de la fonction $x\mapsto f(-x)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par symétrie par rapport à $(Oy)$.
- par translations :
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le graphe de la fonction $x\mapsto f(x)+b$ s'obtient à partir de celui de $f$ par translation de vecteur $b\vec j$;
le graphe de la fonction $x\mapsto f(x+a)$ s'obtient à partir de celui de $f$ par translation de vecteur $-a\vec i$.
Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est paire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est alors symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est impaire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine.
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ et soit $a>0$. On dit que $f$ est périodique de période $a$ si, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x+a)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ est invariante par translation de vecteur $a\vec i$.
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction. On dit que $f$ est
- croissante si $$\forall x,y\in I,\ x\leq y\implies f(x)\leq f(y).$$
- strictement croissante si $$\forall x,y\in I,\ x<y\implies f(x)<f(y).$$
- décroissante si $$\forall x,y\in I,\ x\leq y\implies f(x)\geq f(y).$$
- (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
- majorée s'il existe $M\in\mathbb R$ telle que $f(x)\leq M$ pour tout $x\in I$. Dans ce cas, on dit que $M$ est un majorant de $f$.
- minorée s'il existe $m\in\mathbb R$ telle que $f(x)\geq m$ pour tout $x\in I$. Dans ce cas, on dit que $m$ est un minorant de $f$.
- bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Ceci revient à dire qu'il existe $K\in\mathbb R$ tel que $|f(x)|\leq K$ pour tout $x\in I$.
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $x_0\in I$. On dit que $f$
- admet un maximum sur $I$ en $x_0$ si pour tout $x\in I$, $f(x)\leq f(x_0)$.
- admet un minimum sur $I$ en $x_0$ si pour tout $x\in I$, $f(x)\geq f(x_0)$.
Dans cette partie, $I,J$ désignent des intervalles de $\mathbb R$.
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $x_0\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite quand $x$ tend vers $x_0$. On note alors $f'(x_0)$ cette limite et on l'appelle nombre dérivé de $f$ en $x_0$. Si $f$ est dérivable en tout point de $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. La fonction $f'$, définie sur $I$, s'appelle alors la dérivée de $f$. On dit que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et si de plus $f'$ est continue sur $I$.
Lorsque $f$ est dérivable en $x_0$, sa courbe représentative admet une tangente au point de coordonnées $(x_0,f(x_0))$ d'équation $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.
Lorsqu'elle est définie, la fonction $f'$ peut elle-même être dérivable sur $I$. On appelle alors $f^{(2)}$ la dérivée de $f'$. Par récurrence, on définit la dérivée $k$-ième de $f$, notée $f^{(k)}$, comme la dérivée de la dérivée $k-1$-ième. En général, on note $f''$ a la place de $f^{(2)}$. On dit alors que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $I$ si $f^{(k)}$ existe et si $f^{(k)}$ est continue sur I. On dit que $f$ est classe $\mathcal C^\infty$ sur $I$ si elle est de classe $\mathcal C^k$ pour tout $k\geq 1$.
On peut remplacer dans l'énoncé précédent dérivable par $\mathcal C^1$, ou $k$ fois dérivable, ou $\mathcal C^k$, ou $\mathcal C^\infty$, mais les formules ne sont valables que pour la dérivée première.
- $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x\in I$, $f'(x)\geq 0$;
- $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ et si $f'$ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle $[a,b]\subset I$ avec $a<b$.
En particulier, si $f'>0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante, mais la réciproque est fausse comme le montre la fonction $x^3$.
On rappelle qu'une fonction $f:E\to F$ est bijective si pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet une unique solution $x\in E$. Dans ce cas, on peut définir la fonction réciproque $f^{-1}:F\to E$ par, pour tout $y\in F$, $f^{-1}(y)$ est l'unique $x\in E$ tel que $y=f(x)$.
Dans le cas des fonctions définies sur un intervalle, on dispose d'une condition suffisante simple pour démontrer qu'une fonction est bijective.
Lorsqu'une fonction bijective est dérivable, sa réciproque est aussi dérivable aux points $f(a)$ tels que $f'(a)\neq 0$ et on a une formule pour la dérivée.
Autrement dit, on a $\displaystyle (f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}.$
- Définition : la fonction $\exp$ est l'unique fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$.
- Notation : $e^x$ ou $\exp(x)$;
- Domaine de définition : $\mathbb R$;
- Propriétés opératoires : $$\forall a,b\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),\ \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)},$$ $$ \exp(na)=(\exp a)^n.$$
- Dérivée : $\exp(x)$;
- Sens de variation : croissante;
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$;
- Inégalité classique : $\forall x\in\mathbb R,\ \exp(x)\geq 1+x$.
- Courbe représentative :
- Définition : la fonction $\exp$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $]0,+\infty[$. Sa réciproque est la fonction logarithme népérien.
- Notation : $\ln x$
- Domaine de définition : $]0,+\infty[$
- Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,$$ $$\ln(a^n)=n\ln a.$$
- Dérivée : $x\mapsto \frac 1x$
- Sens de variation : croissante
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
- Inégalité classique : $\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x$.
- Courbe représentative :
- Logarithme de base $a$ : pour $a>0$ et $a\neq 1$, $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$. En particulier, on utilise très souvent le logarithme décimal $\log_{10}$ qui est parfois simplement noté $\log_{10}$.
- Définition : pour $\alpha\in\mathbb R$, $x^\alpha=\exp(\alpha \ln x)$;
- Domaine de définition : $\mathbb R_+^*$, sauf si $\alpha$ est un entier naturel. Dans ce cas, le domaine de définition est $\mathbb R$.
- Dérivée : $\alpha x^{\alpha-1}$;
- Sens de variation : croissante si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$.
- Limites aux bornes :
- si $\alpha>0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$;
- si $\alpha<0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$;
- Propriétés algébriques : pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb R$, pour tout $x>0$, on a $$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha,\ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta,\ (x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}.$$
- Courbe représentative :
| Nom | arcsinus | arccosinus | arctangente |
| Notation | $\arcsin x$ | $\arccos x$ | $\arctan x$ |
| Départ et arrivée |
$[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$ | $[-1,1]\to[0,\pi]$ | $\mathbb R\to ]–\pi/2,\pi/2[$ |
| Lien avec les fonctions circulaires |
$\small y=\arcsin x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\sin y\\ y\in\left[\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right] \end{array}\right.$ | $\small y=\arccos x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\cos y\\y\in[0,\pi] \end{array}\right.$ | $\small y=\arctan x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\tan y\\y\in\left]\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right[ \end{array}\right.$ |
| Parité | Impaire | Ni paire, ni impaire | Impaire |
| Dérivée | $\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$ | $-\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac1{1+x^2}$ |
| Monotonie | Croissante | Décroissante | Croissante |
| Limites | Sans objet | Sans objet | $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2$ |
| Courbe représentative |
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| Formules | $\forall x\in [-1,1], \arccos x+\arcsin x=\frac\pi 2$ | $\small \forall x> 0,\ \arctan x+\arctan\frac 1x=\frac\pi2.$ | |
| Nom | sinus hyperbolique | cosinus hyperbolique | tangente hyperbolique |
| Définition | $\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ | $\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ | $\th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ |
| Départ et arrivée |
$\mathbb R\to\mathbb R$ | $\mathbb R\to [1,+\infty[$ | $\mathbb R\to]-1,1[$ |
| Parité | Impaire | Paire | Impaire |
| Dérivée | $\ch x$ | $\sh x$ | $1-\th^2 x=\frac 1{\ch^2 x}$ |
| Monotonie | Croissante | Croissante sur $\mathbb R_+$ | Croissante |
| Limites | $\lim_{x\to+\infty}\sh x=+\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}\ch x=+\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}\th x=1$ |
| Courbe représentative |
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| Formules | $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$ | ||