Résumé de cours : espaces vectoriels

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Structure d'espace vectoriel

On appelle espace vectoriel sur $\mathbb K$ (ou $\mathbb K$-espace vectoriel) un ensemble $E$ muni de deux lois :

une loi interne, notée $+$, telle que $(E,+)$ soit un groupe commutatif. L'élément nul est noté $0_E$.
une loi externe, notée $\cdot$, qui est une application de $\mathbb K\times E$ dans $E$ vérifiant :
1. $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ (\alpha+\beta)\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$.
2. $\forall \alpha\in\mathbb K,\ \forall (x,y)\in E^2,\ \alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$.
3. $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ \alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$.
4. $\forall x\in E,\ 1\cdot x=x$.

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et les éléments de $\mathbb K$ sont appelés des scalaires.

Exemples : $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A,\mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel. En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R$-espace vectoriel (resp. un $\mathbb C$-espace vectoriel).

Proposition : Soit $E_1,\dots, E_n$ des $\mathbb K$-espaces vectoriels. Alors le produit cartésien $E_1\times\dots\times E_n$, muni de l'addition $$(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$$ et de la multiplication externe $$\lambda\cdot (x_1,\dots,x_n)=(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)$$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel.

Famille de vecteurs

Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.

Une combinaison linéaire de la famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ de $E$ est un vecteur $x\in E$ s'écrivant $x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ où les $\alpha_i$ sont des éléments de $\mathbb K$. Une combinaison linéaire d'une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ est un vecteur $x$ s'écrivant $x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i$ où tous les $\alpha_i$, sauf un nombre fini, sont nuls.

Une famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ est libre si, pour tout choix de $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb K$, $$\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0\implies \forall i\in\{1,\dots,n\},\ \alpha_i=0.$$

Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre.

Une famille qui n'est pas libre est une famille liée.

Exemple : Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de $\mathbb K[X]$ avec $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Alors $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $(x_i)_{i\in I}$.

Propriétés des familles libres et génératrices : Soit $X$ et $Y$ deux familles de vecteurs de $E$ avec $X\subset Y$.

si $Y$ est libre, alors $X$ est libre;
si $X$ est génératrice, alors $Y$ est génératrice.
si $X$ est une famille génératrice, et si $x\in X$ est combinaison linéaire des vecteurs de $X\backslash\{x\}$, alors $X\backslash \{x\}$ est une famille génératrice.
si $X$ est une famille libre, et si $x\in E$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de $X$, alors $X\cup\{x\}$ est libre.

Sous-espaces vectoriels

Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est non-vide et si $F$ est stable par $+$ et $\cdot$. Dans ce cas, $F$ est lui-même un espace vectoriel.

Caractérisation des sous-espaces vectoriels : Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si les 3 propriétés suivantes sont vérifiées :

$0_E\in F$;
Pour tout $(x,y)\in F^2$, $x+y\in F$;
Pour tout $x\in F$ et tout $\lambda\in \mathbb K$, $\lambda\cdot x\in F$.

Exemples :

$\{0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$;
dans $\mathbb R^2$, toute droite vectorielle (passant par l'origine) est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$;
dans $\mathbb R^3$, toute droite vectorielle (passant par l'origine), tout plan vectoriel est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$;
pour $n\geq 0$, l'ensemble $\mathbb K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ est un sous-espace de $\mathbb K[X]$;
l'ensemble des matrices symétriques d'ordre $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb K)$.

Proposition : L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de $p$ équations à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$.

Proposition : L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

Proposition et définition : Si $X$ est une partie de $E$, il existe un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $X$ qui est le plus petit possible (pour l'inclusion). On l'appelle le sous-espace engendré par $X$ et on le note $\textrm{vect}(X)$. Si $X=\{x_1,\dots,x_n\}$, alors $\vect(X)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $x_1,\dots,x_n$ : $$\vect(x_1,\dots,x_n)=\left\{\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i:\ \alpha_i\in \mathbb K\right\}.$$

En particulier, on a les propriétés suivantes :

si $X\subset Y$, alors $\vect(X)\subset \vect(Y)$;
si $F$ est un sous-espace vectoriel contenant $X$, alors $\vect(X)\subset F$;
l'espace $\vect(u_1,\dots,u_n)$ est inchangé si on ajoute à un des vecteurs $u_i$ une combinaison linéaire des autres vecteurs;
$\vect(u_1,\dots,u_n,0)=\vect(u_1,\dots,u_n)$;
si $u_n$ est combinaison linéaire de $u_1,\dots,u_{n-1}$, alors $\vect(u_1,\dots,u_n)=\vect(u_1,\dots,u_{n-1})$.

Proposition : Soit $X$ une famille de vecteurs de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $$\vect(X)\subset F\iff \forall u\in X,\ u\in F.$$

Somme de sous-espaces vectoriels

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$ l'espace vectoriel noté $F+G$ défini par $$F+G=\{x+y:\ x\in F,\ y\in G\}.$$

Proposition : Si $X$ et $Y$ sont deux familles de vecteurs de $E$, alors $$\vect(X)+\vect(Y)=\vect(X\cup Y).$$

Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ est unique. On note alors $F\oplus G$.

Proposition : Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\{0\}$.

On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ s'ils sont en somme directe et si $F\oplus G=E$.

Proposition : $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si tout $u\in E$ s'écrit de façon unique $u=u_F+u_G$ avec $u_F\in F$ et $u_G\in G$.

Sous-espaces affines

Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.

Soit $a\in E$. On appelle translation de vecteur $a$ l'application de $E$ définie par $t_a(x)=x+a$. L'image d'une partie $F$ de $E$ par $t_a$ sera notée $a+F$.

Une partie $A$ de $E$ est un sous-espace affine de $E$ si $A$ s'il existe $x\in E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $A=x+F$.

Proposition : Soit $A=x+F$ et $B=y+G$ deux sous-espaces affines de $E$. Alors $$A\subset B\iff F\subset G\textrm{ et }y-x\in G.$$

En particulier, si un même sous-espace affine s'écrit à la fois $A=x+F$ et $A=y+G$, alors on a nécessairement $F=G$. Le sous-espace vectoriel intervenant dans la définition de $A$ est donc unique et s'appelle la direction de $A$.

Exemples :

dans $\mathbb R^2$, toute droite est un sous-espace affine de $\mathbb R^2$;
dans $\mathbb R^3$, toute droite, tout plan est un sous-espace affine de $\mathbb R^3$;

Proposition : L'ensemble des solutions d'un système linéaire de $p$ équations à $n$ inconnues admettant des solutions est un sous-espace affine de $\mathbb R^n$.

Espaces vectoriels