Résumé de cours : développements limités

Développements limités

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb C$, et $a$ est un point de $I$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des complexes $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$

Proposition (unicité) : Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, celui-ci est unique.

Formule de Taylor-Young (existence) : Si $f$ est de classe $C^n$, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en tout point $a\in I$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$

Opérations sur les développements limités

Combinaison linéaire : Soit $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h^n),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n)$$ et soit $\lambda\in\mathbb R$. Alors $f+\lambda g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+\lambda g)(a+h)=\big(P(h)+\lambda Q(h)\big)+o(h^n).$$

Produit : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h^n),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $fg$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$fg(a+h)=R(h)+o(h^n)$$ où $R$ est le polynôme obtenu en ne gardant dans le produit $PQ$ que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.

Intégration : Si $f$, continue sur $I$, admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=a_0+a_1h+\cdots+a_n h^n+o(h^n)$$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$ donné par $$F(a+h)=F(a)+a_0h+\frac{a_1}2h^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}h^{n+1}+o(h^{n+1}).$$

Développements limités usuels

\begin{eqnarray*} e^x&=&1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \cosh x&=&1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sinh x&=&x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\\ \ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\\ \arctan(x)&=&x-\frac{x^3}3+\dots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ (1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\ \tan(x)&=&x+\frac{x^3}3+\frac{2}{15}x^5+o(x^5). \end{eqnarray*}

Étude locale d'une courbe représentative : extrémum local

En un point $a$ où $f$ admet un extrémum local, on a $f'(a)=0$. Réciproquement, si $f'(a)=0$, pour savoir si on a effectivement un extrémum, on cherche le premier terme non nul d'ordre supérieur ou égal à $1$ dans le développement limité de $f$ en $a$ : $$f(a+h)=f(a)+a_p h^p+o(h^p),\ a_p\neq 0.$$

Si $p$ est pair, la fonction admet un extrémum local en $a$. C'est un minimum si $a_p>0,$ et un maximum si $a_p<0$.
Si $p$ est impair, la fonction n'admet pas d'extrémum local en $a$.

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