Résumé de cours : espaces vectoriels de dimension finie

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $E,F$ sont des $\mathbb K$-espace vectoriels.

Base

On appelle base de $E$ toute famille libre et génératrice de $E$.

Si $\mathcal B=(x_i)_{i\in I}$ est une base de $E$, alors tout $x\in E$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire $$x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i.$$ Les scalaires $(\alpha_i)_{i\in I}$ s'appellent les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$.

Espace de dimension finie

On dit que $E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.

Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de $E$, on peut extraire une base de $E$. En particulier, un espace de dimension finie admet une base.

Théorème de la base incomplète : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $(e_1,\dots,e_p)$ une famille libre de $E$, $(g_1,\dots,g_q)$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut compléter $(e_1,\dots,e_p)$ par des vecteurs de $(g_1,\dots,g_q)$ pour former une base de $E$.

En particulier, on déduit des résultats précédents que tout espace vectoriel de dimension finie admet une base finie. On démontre ensuite que toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Pour cela, on a besoin du résultat fondamental suivant.

Lemme : Si $E$ est engendré par une famille de $n$ vecteurs, alors toute famille de $n+1$ vecteurs de $E$ est liée.

Théorème et définition : Si $E$ est de dimension finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension de $E$ et est noté $\dim(E)$.

Corollaire : Si $E$ est de dimension $n$ et si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille de $n$ vecteurs de $E$, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

$(x_1,\dots,x_n)$ est une famille libre de $E$;
$(x_1,\dots,x_n)$ est une famille génératrice de $E$;
$(x_1,\dots,x_n)$ est une base de $E$.

En particulier, dans un espace de dimension $n$, une famille libre a toujours au plus $n$ éléments, et une famille génératrice a toujours au moins $n$ éléments.

Exemples :

$\dim(\mathbb K^n)=n$.
$\dim(\mathbb K_n[X])=n+1$.
$\dim(\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)=n\times p$.

Proposition : Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $\dim(E\times F)=\dim(E)+\dim(F).$

Si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille finie de $E$, on appelle rang de $(x_1,\dots,x_n)$ la dimension de $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_n)$.

Sous-espaces et dimension

Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ est de dimension finie et on a $\dim(F)\leq \dim(E)$. De plus, on a $\dim(F)=\dim(E)\iff F=E$.

Formule de Grassmann : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$ En particulier, $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)$.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$, soit $(f_1,\dots,f_p)$ une base de $F$ et $(g_1,\dots,g_q)$ une base de $G$. Alors $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ est une base de $E$.

Sous les conditions précédentes, la base $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ de $E$ s'appelle base adaptée à la décomposition $E=F\oplus G$.

Théorème : Tout sous-espace d'un espace de dimension finie admet un supplémentaire.

Espaces vectoriels de dimension finie