$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : espaces vectoriels de dimension finie

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $E,F$ sont des $\mathbb K$-espace vectoriels.
Base

On appelle base de $E$ toute famille libre et génératrice de $E$.

Si $\mathcal B=(x_i)_{i\in I}$ est une base de $E$, alors tout $x\in E$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire $$x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i.$$ Les scalaires $(\alpha_i)_{i\in I}$ s'appellent les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$.

Espace de dimension finie

On dit que $E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.

Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de $E$, on peut extraire une base de $E$. En particulier, un espace de dimension finie admet une base.
Théorème de la base incomplète : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $(e_1,\dots,e_p)$ une famille libre de $E$, $(g_1,\dots,g_q)$ une famille génératrice de $E$. Alors on peut compléter $(e_1,\dots,e_p)$ par des vecteurs de $(g_1,\dots,g_q)$ pour former une base de $E$.

En particulier, on déduit des résultats précédents que tout espace vectoriel de dimension finie admet une base finie.

Théorème et définition : Si $E$ est de dimension finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension de $E$ et est noté $\dim(E)$.
Corollaire : Si $E$ est de dimension $n$ et si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille de $n$ vecteurs de $E$, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
  • $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille libre de $E$;
  • $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille génératrice de $E$;
  • $(x_1,\dots,x_n)$ est une base de $E$.

En particulier, dans un espace de dimension $n$, une famille libre a toujours au plus $n$ éléments, et une famille génératrice a toujours au moins $n$ éléments.

Exemples :

  • $\dim(\mathbb K^n)=n$.
  • $\dim(\mathbb K_n[X])=n+1$.
  • $\dim(\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)=n\times p$.
Proposition : Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $\dim(E\times F)=\dim(E)+\dim(F).$

Si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille finie de $E$, on appelle rang de $(x_1,\dots,x_n)$ la dimension de $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_n)$.

Sous-espaces et dimension

Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ est de dimension finie et on a $\dim(F)\leq \dim(E)$. De plus, on a $\dim(F)=\dim(E)\iff F=E$.

Formule de Grassmann : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$ En particulier, $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)$.
Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$, soit $(f_1,\dots,f_p)$ une base de $F$ et $(g_1,\dots,g_q)$ une base de $G$. Alors $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ est une base de $E$.

Sous les conditions précédentes, la base $(f_1,\dots,f_p,g_1,\dots,g_q)$ de $E$ s'appelle base adaptée à la décomposition $E=F\oplus G$.

Théorème : Tout sous-espace d'un espace de dimension finie admet un supplémentaire.

Espaces vectoriels de dimension finie