Résumé de cours : comparaison de suites et de fonctions
Soit $I$ un intervalle ouvert, $f,g:I\to\mathbb R$ et soit $a$ une extrémité de $I$ (éventuellement, $a=\pm \infty$). On suppose que $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$.
On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ dont $a$ est une extrémité ($J$ est de la forme $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$) et un réel $M>0$ telle que $$\forall x\in J,\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\leq M.$$ On note $$f=_aO(g)\textrm{ ou }f(x)=_a O(g(x)).$$
On dit que $f$ est négligeable devant $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 0 en a. On note $$f=_ao(g)\textrm{ ou }f(x)=_a o(g(x)).$$
On dit que $f$ est équivalente à $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 1 en $a$. On note $$f\sim_a g\textrm{ ou }f(x)\sim_a g(x).$$ Ceci revient à dire que $f(x)=_a g(x)+o(g(x))$.
Dans ce paragraphe, $f,g:I\to\mathbb R$, $a$ est une extrémité de $I$, et $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$.
- Si $f\sim_a g$, alors il existe un intervalle ouvert $J$ dont $a$ est une extrémité tel que, pour tout $x\in J$, $f(x)$ et $g(x)$ ont même signe.
- Si $f\sim_a g$ et si $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.
Le deuxième point de cette proposition indique le but des équivalents : pour déterminer la limite de $f$ en un point, il suffit de déterminer une fonction $g$, souvent plus simple, telle que $f$ est équivalente à $g$ en ce point, puis de déterminer la limite de $g$ en ce point.
- si $f\sim_a g$ et $u\sim_a v$, alors $f\times u\sim_a g\times v$.
- si $f\sim_a g$ et $u\sim_a v$, alors $\frac{f}{u}\sim_a \frac{g}{v}$.
- si $f\sim_a g$ et $p\in\mathbb Z$, alors $f^p\sim_a g^p$.
Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
- si $f=_ao(h)$ et $g=_ao(h)$, alors $\alpha f+\beta g=_ao(h)$ pour tout $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$.
- si $f=_ao(g)$ et $g=_ao(h)$, alors $f=_ao(h)$.
- si $f=_ao(g)$, alors $f\times h=_ao(g\times h)$.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.
On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$ Ceci revient à dire que $u_n=v_n+o(v_n)$, ou encore que $v_n=u_n+o(u_n)$.
Les règles de calculs et les propriétés étudiées pour les fonctions restent vraies pour les suites.
On en déduit les équivalents usuels suivants : $$\begin{array}{lll} \sin x\sim_0 x&\quad&\ln(1+x)\sim_0 x\\ 1-\cos x\sim_0 \frac{x^2}2&\quad&e^x-1\sim_0 x\\ (1+x)^\alpha-1\sim_0 \alpha x. \end{array}$$
Les propriétés classiques de comparaison des fonctions en $0$ et en $+\infty$ s'écrivent de la façon suivante avec les notations introduites dans ce chapitre : pour tous $\alpha>0,\ \beta>0,\ \gamma>0$, on a $$(\ln x)^\beta=_{+\infty}o(x^\alpha)\textrm{ et }x^\alpha=_{+\infty}o(e^{\gamma x});$$ $$(\ln x)^\beta=_{0}o(x^{-\alpha}).$$
- On a $x^\alpha=_0o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha>\beta$;
- On a $x^\alpha=_{+\infty}o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha<\beta$.
En particulier, pour tout $a\in \mathbb R$, on a $$a^n=o(n!)\textrm{ et }n!=o(n^n).$$