Résumé de cours : applications linéaires

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur $\mathbb K$.

Applications linéaires

Une application $f:E\to F$ est appelée une application linéaire si, pour tous $x,y\in E$ et tous $\lambda,\mu\in \mathbb K$, on a $$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y).$$ On note $\mathcal L(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$, et $\mathcal L(E)$ si $E=F$. Une application linéaire de $E$ dans $E$ s'appelle aussi un endomorphisme de $E$.

Exemples :

L'application $id_E:E\to E$, $x\mapsto x$, est linéaire et s'appelle l'application identité de $E$.
Pour $\lambda\in\mathbb K$, l'application $E\to E$, $x\mapsto \lambda x$, est une application linéaire et s'appelle l'homothétie de rapport $\lambda$.

Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire. La composée d'applications linéaires est linéaire. On note souvent $vu$ au lieu de $v\circ u$, et $u^k$ pour $u\circ\cdots\circ u$.

Proposition : $(\mathcal L(E),+,\circ)$ est un anneau.

On dit qu'une application linéaire $f:E\to F$ est un isomorphisme si elle est bijective. La fonction réciproque d'un isomorphisme est elle-même une application linéaire.

Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme s'appelle un automorphisme de $E$. L'ensemble des automorphismes de $E$ est noté $GL(E)$. $(GL(E),\circ)$ est un groupe.

L'image directe d'un sous-espace vectoriel de $E$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $F$. L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de $F$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$.

On appelle noyau de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $E$ $$\ker(f)=\{x\in E;\ f(x)=0\}.$$

Théorème : $f\in\mathcal L(E,F)$ est injective si et seulement si $\ker(f)=\{0\}$.

On appelle image de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $F$ $$\imv(f)=\{f(x);\ x\in E\}.$$

Proposition : Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $E$, alors $\imv(f)=\textrm{vect}(f(x_i);\ i\in I\}$.

Projections et symétries

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle projection (ou projecteur) sur $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $p$ définie sur $E$ par $p(z)=x$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\imv( p)=F$ et $\ker( p)=G$.

Caractérisation des projections : Un endomorphisme $p\in\mathcal L(E)$ est une projection si et seulement si $p\circ p=p$. L'application $p$ est alors la projection sur $\imv( p)$ parallèlement à $\ker( p)$.

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $s$ définie sur $E$ par $s(z)=x-y$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\ker( s-Id_E)=F$ et $\ker( s+Id_E)=G$.

Caractérisation des symétries : Un endomorphisme $s\in\mathcal L(E)$ est une symétrie si et seulement si $s\circ s=Id_E$. L'application $s$ est alors la symétrie par rapport à $\ker( s-Id_E)$ parallèlement à $\ker( s+Id_E)$.

Détermination d'une application linéaire par une base, par une décomposition en somme directe

Pour définir une application linéaire, on peut se contenter de la définir sur une base.

Théorème : Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de $E$ et soit $(f_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $F$. Alors il existe un unique $u\in\mathcal L(E,F)$ tel que $u(e_i)=f_i$ pour tout $i\in I$. De plus,

$u$ est injective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une famille libre de $F$;
$u$ est surjective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $F$;
$u$ est bijective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une base de $F$.

De la même façon, on peut définir une application linéaire sur une somme directe $E_1\oplus E_2$ connaissant son comportement sur $E_1$ et sur $E_2$.

Théorème : Soit $E=E_1\oplus E_2$ une décomposition en somme directe de $E$. Alors pour tout $u_1\in\mathcal L(E_1,F)$ et tout $u_2\in\mathcal L(E_2,F)$, il existe un unique $u\in\mathcal L(E,F)$ tel que $u_{|E_1}=u_1$ et $u_{|E_2}=u_2$.

Applications linéaires et dimension

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$. On dit que $u$ est de rang fini si $\imv(u)$ est de dimension finie. Dans ce cas, on appelle rang de $u$, et on note $\textrm{rg}(u)$, la dimension de $\imv(u)$.

Proposition : Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ et $v\in\mathcal L(F,G)$ de rang fini. Alors $v\circ u$ est de rang fini avec $$\textrm{rg}(v\circ u)\leq \min(\textrm{rg}(u),\textrm{rg}(v)).$$ De plus, si $u$ est un isomorphisme, $\textrm{rg}(v\circ u)=\textrm{rg}(v)$; si $v$ est un isomorphisme, $\textrm{rg}(v\circ u)=\textrm{rg}(u)$.

Théorème (forme géométrique du théorème du rang) : Soit $u\in\mathcal L(E,F)$. Alors, si $S$ est un supplémentaire de $\ker(u)$ dans $E$, $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\imv(u)$.

Théorème du rang : Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ avec $E$ de dimension finie. Alors $$\dim(E)=\dim\ker(u)+\textrm{rg}(u).$$

Corollaire : On suppose que $E$ et $F$ sont de dimension finie avec $\dim(E)=\dim(F)$. Soit $u\in\mathcal L(E,F)$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est injective;
$u$ est surjective;
$u$ est bijective.

Proposition : Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, et s'il existe un isomorphisme $u\in\mathcal L(E,F)$, alors $\dim(E)=\dim(F)$. Réciproquement, si $\dim(E)=\dim(F)$, alors il existe un isomorphisme $u\in\mathcal L(E,F)$.

Théorème : Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $\mathcal L(E,F)$ est de dimension finie et $\dim(\mathcal L(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$.

Formes linéaires, hyperplans

On appelle forme linéaire sur $E$ toute application linéaire de $E$ dans $\mathbb K$. On note $E^*$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$, on l'appelle le dual de $E$. Si $E$ est de dimension finie, alors $\dim(E)=\dim(E^*)$.

Exemple : On suppose que $E$ possède une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$. Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, l'application notée $e_i^*$ qui à tout $x$ de $E$ associe sa coordonnée suivant $e_i$ dans sa décomposition dans $\mathcal B$ est une application linéaire, appelée $i$-ème forme linéaire coordonnée de $E$ dans la base $\mathcal B$.

Proposition : Deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.

On appelle hyperplan de $E$ tout noyau d'une forme linéaire non nulle. Si $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, un hyperplan $H$ de $E$ peut toujours s'écrire sous la forme $$H=\{x\in E:\ a_1x_1+\dots+a_nx_n=0\}$$ où les $x_i$ sont les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$ et où les $a_i$ sont des éléments de $\mathbb K$ qui ne sont pas tous identiquement nuls. L'écriture $a_1x_1+\dots+a_nx_n=0$ s'appelle une équation de l'hyperplan. Toutes les équations d'un hyperplan sont proportionnelles.

Théorème : Si $H$ est un hyperplan de $E$ et si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension 1 non contenu dans $H$, alors $H\oplus F=E$. Réciproquement, tout supplémentaire d'une droite vectorielle est un hyperplan.

Corollaire : Si $E$ est de dimension finie, un sous-espace $H$ de $E$ est un hyperplan si et seulement si $\dim(H)=\dim(E)-1$.

Si $E$ est de dimension $n$, l'intersection de $m$ hyperplans de $E$ est de dimension au moins égale à $n-m$. Réciproquement, tout sous-espace de dimension $n-m$ est l'intersection de $m$ hyperplans.

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