Préparer sa kholle : Trigonométrie

L'exercice qu'il faut savoir faire

Exercice 1

- Retrouver le sinus et la tangente connaissant le cosinus [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $x$ un nombre réel.

Sachant que $\cos(x)=-\frac45$, calculer \[ \cos(x-\pi),\ \cos(-\pi-x),\ \cos(x-2\pi),\ \cos(-x-2\pi). \]
On suppose de plus que $\pi\leq x<2\pi$. Calculer $\sin(x)$ et $\tan(x)$.

Indication

Corrigé

L'exercice standard

Exercice 2

- Un système [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer l'ensemble des réels $x$ vérifiant : $$\left\{\begin{array}{rcl} 2\cos(x)-\sin(x)&=&\sqrt 3+\frac 12\\ \cos(x)+2\sin(x)&=&\frac{\sqrt 3}2-1. \end{array}\right.$$

Indication

Corrigé

L'exercice pour les héros

Exercice 3

- Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes :

$2\cos^2 x-9\cos x+4\geq 0$;
$\cos 5x+\cos 3x\geq \cos x$.

Indication

Corrigé

Posons $X=\cos x$. L'inéquation est alors équivalente à $2X^2-9X+4\geq 0.$ Le discriminant du polynôme de second degré associé est $49=7^2$. Ses deux racines sont $1/2$ et $4$. Ainsi, $2X^2-9X+4\geq 0$ si et seulement si $X\leq 1/2$ ou $X\geq 4$. Revenant à $\cos x=X$, le dernier cas est impossible et on a donc $$2\cos^2x-9\cos x+4\geq 0\iff \cos x\leq \frac 12\iff x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left[\frac{\pi}3+2k\pi,\frac{5\pi}3+2k\pi\right].$$
On commence par utiliser une formule de trigonométrie : $$\cos 5x+\cos 3x=2\cos(4x)\cos x.$$ Ainsi, l'inéquation est équivalente à $$\cos x\left(2\cos(4x)-1\right)\geq 0.$$ On va résoudre cette inéquation sur un intervalle de longueur $2\pi$, puis on va utiliser la $2\pi$-périodicité du cosinus. Remarquons aussi que l'inégalité est vrai en $\pm\frac\pi 2$, là où le cosinus s'annule. Maintenant, si $x\in\left]-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right[$, on a $\cos(x)>0$ et l'inéquation est équivalente à $$2\cos(4x)-1\geq 0\iff \cos(4x)\geq\frac 12.$$ Ceci donne encore : $$\exists l\in\mathbb Z,\ x\in \left[l\frac{\pi}2-\frac{\pi}{12},l\frac{\pi}2+\frac{\pi}{12}\right].$$ On cherche les solutions dans l'intervalle $\left]-\frac\pi 2,\frac\pi 2\right[$ et on trouve $$\left]-\frac{\pi}2,-\frac{5\pi}{12}\right]\cup\bigg[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\bigg]\cup\left[\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}2\right[.$$ On cherche maintenant les solutions dans l'intervalle $\left]\frac\pi 2,\frac{3\pi}2\right[$. L'inéquation y est équivalente à $$2\cos(4x)-1\leq 0$$ dont l'ensemble des solutions sur l'intervalle considéré est $$\left[\frac{7\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}\right].$$ Finalement, l'ensemble des solutions sur $\mathbb R$ est \begin{eqnarray*} \bigcup_{k\in\mathbb Z}\bigg(\left[-\frac{\pi}2+2k\pi,-\frac{5\pi}{12}+2k\pi\right] \cup\bigg[-\frac{\pi}{12}+2k\pi,\frac{\pi}{12}+2k\pi\bigg]\cup\left[\frac{5\pi}{12}+2k\pi,\frac{\pi}2+2k\pi\right]\cup\\ \quad\quad \left[\frac{7\pi}{12}+2k\pi,\frac{11\pi}{12}+2k\pi\right]\cup\left[\frac{13\pi}{12}+2k\pi,\frac{17\pi}{12}+2k\pi\right]\Bigg). \end{eqnarray*}

Trigonométrie