$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Suites de nombres réels ou complexes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $l$ et $l'$.
  1. On suppose que $l=l'$. Montrer que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.
  2. On suppose que $l<l'$.
    1. Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $u_n\leq v_n$.
    2. En déduire que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}n&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n^\alpha}\textrm{ en fonction de }x,\alpha\in\mathbb R\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \end{array}$$
Indication
Corrigé
Suites de nombres réels ou complexes