Préparer sa kholle : Polynômes

On réalise la division euclidienne de $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$ par $X^2+2$, et on trouve : $$X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2=(X^2+2)(X^2+X+(\lambda-2))+(\mu-2)X+6-2\lambda.$$ Le polynôme $X^2+2$ divise donc $X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2$ si et seulement si le reste est nul, donc si et seulement si $\mu=2$ et $\lambda=3$.
Une autre possibilité est de remarquer que les racines de $X^2+2$ sont $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$, et donc que la décomposition en produits d'irréductibles de $X^2+2$ est $(X-\sqrt 2i)(X+\sqrt 2i)$. Pour que $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$ soit divisible par $X^2+2$, il faut et il suffit que $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$ soient racines de $X^4 + X^3 + \lambda X^2 + \mu X + 2$. On évalue ce polynôme en $\sqrt 2i$ et $-\sqrt 2i$ et on trouve un système linéaire que doit vérifier le couple $(\lambda,\mu)$. On trouve bien sûr la même solution.

On commence par remarquer que les polynômes $(X-1)^2$ et $(X+1)^2$ sont premiers entre eux, une relation de Bezout entre eux étant obtenue par la formule $$\left(\frac X4+\frac12\right)(X-1)^2+\left(\frac{-X}4+\frac12\right)(X+1)^2=1.$$ On doit résoudre le système de "congruence" suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} P(X)&\equiv&-1\ [(X-1)^2]\\ P(X)&\equiv&1\ [(X+1)^2]\\ \end{array} \right. $$ La première équation donne $P(X)=-1+U(X)(X-1)^2$, et, en reportant dans la deuxième équation, on trouve $$U(X)(X-1)^2\equiv 2\ [(X+1)^2].$$ On multiplie alors les deux membres par $(X/4+1/2)$, qui est tel que $(X/4+1/2)(X-1)^2\equiv 1\ [(X+1)^2]$. On en déduit $$U(X)\equiv (X/2+1)\ [(X+1)^2]\implies U(X)=(X/2+1)+V(X)(X+1)^2.$$ Les solutions du système de congruence sont donc les polynômes de la forme $$P(X)=-1+(X/2+1)(X-1)^2+V(X)(X-1)^2(X+1)^2,$$ où $V$ est un polynôme quelconque. La seule solution dans $\mathbb R_3[X]$ est $$P(X)=\frac{X^3}{2}-\frac{3X}{2}.$$