$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Matrices et applications linéaires

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb R^4$ dans lui-même défini par $f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z+t,0,x+y+3z+2t)$.
  1. Déterminer les images par $f$ des vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb R^4$.
  2. Écrire la matrice $A$ représentant l'endomorphisme $f$ dans cette base.
  3. Montrer que $f(e_3)$ et $f(e_4)$ sont combinaisons linéaires de $f(e_1)$ et $f(e_2)$.
  4. En déduire la dimension de $\textrm{Im}(f)$ et une base de $\textrm{Im}(f)$.
  5. Quelle est la dimension du noyau de $f$? Montrer que la famille de vecteurs $(u,v)$ avec $u=(-2,-1,1,0)$ et $v=(-1,-1,0,1)$ forme une base de $\ker(f)$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice de rang $r$.
  1. Démontrer que $A$ est semblable à une matrice par blocs $\begin{pmatrix}B&0\\C&0\end{pmatrix}$ avec $B\in\mathcal M_r(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{n-r,r}(\mathbb K)$.
  2. On suppose de plus que $\textrm{Im}(A)$ et $\ker(A)$ sont supplémentaires. Démontrer que l'on peut demander $C=0$. Que dire de $B$?
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On souhaite démontrer qu'il existe une base de $\mathcal L(E)$ constituée de projecteurs. On fixe une base $\mathcal B$ de $E$. On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. A quelle condition une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est-elle la matrice dans la base $\mathcal B$ d'un projecteur de $E$.
  2. En déduire que pour tout $i,j\in\{1,\dots n\}$ avec $i\neq j$, les matrices $E_{i,i}$ et $E_{i,i}+E_{i,j}$ sont des matrices de projecteurs.
  3. Démontrer la propriété annoncée.
Indication
Corrigé
Matrices et applications linéaires