Préparer sa kholle : Calcul matriciel
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 
- Soit $M=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ -2&3&4\\ 0&1&1\end{pmatrix}$. Démontrer que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.
- En déduire les solutions du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} x-z&=&m\\ -2x+3y+4z&=&1\\ y+z&=&2m \end{array}\right.$$
L'exercice standard
Enoncé
Pour quelles valeurs du paramètre $m$ la matrice $A=\begin{pmatrix} 1&1&m\\1&m&1\\m&1&1 \end{pmatrix}$ admet-elle un inverse? On ne demande pas de calculer l'inverse.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 
- Puissance $k$-ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Puissance $k$-ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{array}\right).$$
- Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
- Soit $(\alpha_k)$ et $(\beta_k)$ les suites définies par $\alpha_0=1$, $\beta_0=0$, $\alpha_{k+1}=3\beta_k$, $\beta_{k+1}=\alpha_k+2\beta_k$. Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $$U^k=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_k&\beta_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\alpha_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\alpha_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\beta_k&\alpha_k \end{array}\right).$$
- Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $\beta_{k+2}=2\beta_{k+1}+3\beta_k$.
- En déduire que, pour tout $k\in\mathbb N$, $\beta_k=\frac{3^k-(-1)^k}{4}$ et $\alpha_k=\frac{3^k+3(-1)^k}{4}$.