$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Limite et continuité

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Continuité à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. On considère une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par \[ f(x) = \begin{cases} (ax)^2& \text{si } x\leq 1,\\ a\sin(\frac{\pi}{2}x)& \text{si } x>1 \end{cases} \] où $a\in\mathbb R$ est une constante réelle. Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f$ est-elle continue?
  2. Déterminer toutes les valeurs des constantes $\alpha, \beta,\gamma\in\mathbb R$ telles que la fonction $g:\mathbb R\to\mathbb R$ suivante soit continue : \[ g(x) = \begin{cases} 1& \text{si } x\leq 0, \\ \alpha e^{-x} + \beta e^x + \gamma x(e^x - e^{-x}) & \text{si } 0<x<1, \\ e^{2-x}& \text{si } x\geq 1. \\ \end{cases} \]
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Avec une limite en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Limite de la valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On suppose que $|f|$ admet une limite (finie) en $+\infty$. Prouver que $f$ admet également une limite en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Limites de fonctions - Continuité